Ricardo A. Sáenz

Dentro del repositorio Open Math Notes de la AMS , acaban de subir las notas Linear Algebra, de Andrew D. Hwang . Las notas tienen un nivel más básico que el de su clase de álgebra lineal aquí en la facultad, pero sí les pueden servir como referencia. Las pueden descargar en: Linear Algebra . En el repositorio hay notas de diversos temas. Échenles un vistazo.

Fecha de entrega: 5 de febrero Problema 1 10 personas desean jugar entre ellas ajedrez, en 5 tableros distintos. ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si no importa el tablero que usan ni el color de las piezas de cada quien? ¿De cuántas formas pueden hacerlo, si sí importa el tablero, pero no el color? ¿De cuántas formas si sí importa el color, pero no el tablero? ¿De cuántas formas si importan ambas? Problema 2 Considera la codificación binaria de subconjuntos de un conjunto vista en clase. ¿A qué números corresponden los subconjuntos de un solo elemento? ¿A qué número corresponde el comjunto completo? ¿A qué subconjuntos corresponden los números pares? Problema 3 Dibuja un árbol de decisión que ilustre el conteo de sucesión de longitud 2 formadas con los símbolos a , b , y c . Problema 4 En una tienda deportiva se venden playeras de 5 colores distintos, shorts de 4 colores diferentes, y calcetas de 3 colores diferentes. ¿Cuántos uniformes diferentes se pueden comprar? Pro...

Fecha de entrega: 24 de octubre Problema 1 Usa diferenciación implícita para expresar $Latex dy / dx$ como función de $Latex x$ y $Latex y$. $Latex x^2 y + x^3 y^4 =1$, $Latex x e^y + y e^x = 2e$. Problema 2 Encuentra $Latex \partial y /\partial x$ en el punto especificado, si existe. $Latex x^3 + y^3 + z^3 = 10$ en $Latex (1,2,1)$, $Latex (x^2 + y^2)/(y^2 + z^2) = 1$ en $Latex (-1,3,1)$, $Latex \log(xyz) = 3$ en $Latex (e,e^2,1)$, $Latex \sin x \cos y - \cos y\sin z = 0$ en $Latex (\pi,0,\pi/2)$. Problema 3 Sean $Latex x, y, u, v$ tales que $Latex \begin{array}{rcl} xy &=& 2e^{uv},\\x+y &=& e^{u+v}.\end{array}$ Encuentra $Latex \partial x/\partial u$ considerando $latex v$ constante en el punto $Latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Después, calcula $Latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto tomando $latex y$ constante. Problema 4 Sean $Latex x, y, r, \theta$ relacionados por $Latex \begin{array}{rcl} x&=&r\cos\theta,\\y&=&r\sin\theta.\end...

Fecha de entrega: 4 de abril. Problema 1 Encuentra los ceros y sus órdenes en las siguientes funciones: $latex \dfrac{z^2+1}{z^2-1}$ $latex \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^5}$ $latex \dfrac{\cos{z}-1}{z}$ $latex \cos{z}-1$ Problema 2 De las funciones del ejercicio anterior determina cuáles son analíticas en $latex \infty$, y determina el orden de todos los ceros en $latex \infty$. Problema 3 Muestra que los ceros de $latex \tan{z}$ son todos simples. Problema 4 Encuentra todas las posibles expansiones de Laurent centradas en $latex 0$ de las siguientes funciones: $latex \dfrac{1}{z^2-z}$ $latex \dfrac{z-1}{z+1}$ $latex \dfrac{1}{(z^2-1)(z^2-4)}$ Problema 5 Para cada una de las funciones en el ejercicio anterior, encuentra la expansión de Laurent centrada en $latex z=-1$ que converge en $latex z=\frac{1}{2}$. Determina el mayor conjunto abierto en el cual cada serie converge.

Fecha de entrega: 4 de abril. Problema 1 Expande la siguientes funciones en su serie de potencias alrededor de $latex \infty$: $latex \dfrac{1}{z^2+1}$ $latex \dfrac{z^2}{z^3-1}$ $latex e^{1/z^2}$ $latex z\sinh{1/z}$ Problema 2 Suponga que $latex f(z)$ es analítica en $latex \infty$, con expansión en serie $latex f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k},\qquad |z|>\frac{1}{\rho}$. Sea $latex \sigma \ge 0$ el menor número tal que $latex f(z)$ extiende una función analítica para $latex |z| > \sigma$. Muestra que la serie $latex \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k}$ converge absolutamente para $latex |z|>\sigma$ y diverge para $latex |z|<\sigma$. Problema 3 Calcula los términos al orden 5 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex z/\sen z$. Problema 4 Calcula los términos al orden 7 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex \cot z$. Problema 5 Define los números de Bernoulli $latex B_n$  por $latex \dfrac{z}{2}\c...

Fecha de entrega: 7 de marzo. Problema 1 Para cada una de las funciones armónicas $latex u$ encuentra $latex du, dv$ y $latex v$, la armónica conjugada de $latex u$. $latex u(x,y) = x-y$ $latex u(x,y) = x^3-3xy^2$ $latex u(x,y) = \sinh x\cos y$ $latex u(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}$ Problema 2 Sea $latex D =\{a<|z|<b\}\setminus(-b,-a)$, un anillo ranurado a lo largo del eje real negativo. Mostrar que cualquier función armónica en $latex D$ tiene una armónica conjugada en $latex D$. Sugerencia:  Fija $latex c$ entre $latex a$ y $latex b$, y define $latex v(z)$ explícitamente como una integral de línea a lo largo de la curva que consiste de la línea recta de $latex c$ a $latex |z|$ seguida del arco circular formado de $latex |z|$ a $latex z$. O mapea el anillo ranurado  a un rectángulo por $latex w = \Log z$. Problema 3 Sea $latex f(z)$ una función continua en un dominio $latex D$. Mostrar que si $latex f(z)$ tiene la propiedad del valor medio con respecto a círculos, entonces ...

Para los asistentes a mi curso Análisis en fractales en el ISAA 2014 , aquí les dejo links a las referencias bibliográficas. Para iniciar, el texto de Strichartz es esencial. Contiene explicaciones detalladas de la construcción de la estructura armónica en el triángulo de Sierpinski, la métrica de resistencia efectiva y el método de decimación. Robert Strichartz,  Differential Equations on Fractals: A Tutorial , Princeton University Press, 2006 También recomiendo el artículo original de Dalrymple, Strichartz y Vinson, con las construcciones de las funciones armónicas, las eigenfunciones de Dirichlet y soluciones a las ecuaciones de calor y onda. Kyallee Dalrymple, Robert S. Strichartz, Jade P. Vinson, Fractal differential equations on the Sierpinski gasket, J. Fourier Analysis and Applications 5  No. 2-3 (1999), 203-284 doi:10.1007/BF01261610 El texto de Kigami desarrolla la teoría abstracta en conjuntos autosimilares postcríticamente finitos. Jun Kigami, Analysis on Fractals, Cambrid...

Fecha de entrega: 1 de noviembre Problemas tomados del texto de Salas, Hille y Etgen,  Calculus , vol. 1, 4ta edición. Capítulo 5 5.5: 11, 13, 16, 26, 42, 48 5.6:  5, 17, 26, 30, 38, 47, 62, 63, 64, 75, 78 5.7: 7-10, 17, 21, 26, 33, 35, 36 5.8:  10, 28, 31.

Construyendo variedades simplécticas , por Miguel Angel Evangelista, Universidad Autónoma de Guerrero. Conferencia de la semana , jueves 22 de agosto, 1:00pm. Resumen:  En esta ponencia hablaremos sobre conceptos de Geometría Simpléctica como lo son las 2-formas simplécticas, variedades simplécticas, fibrados simplécticos y cohomología de De Rham. A su vez, analizaremos un teorema de Thurston que nos dice cómo construir una estructura simpléctica al espacio total de un fibrado, donde el espacio base y la fibra son variedades simplécticas.

La presentación, en PDF, de la primera clase de mi curso "Las matemáticas de los fractales", en el Taller de Ciencia para Jóvenes . En PDF:  Las matemáticas de los fractales .

La geometría de rodar: mecánica no holonómica , por Gil Bor, CIMAT.  Conferencia de la semana , viernes  10 de mayo, 2:00pm . Resumen: Al rodar una pelota a lo largo de una curva cerrada dibujada sobre una mesa encontramos un fenómeno curioso: la pelota regresa a su ubicación inicial pero su orientacion (típicamente) se ha cambiado. La modelación matemática de este fenómeno nos lleva a unos de los conceptos y herramientas centrales de la geometría moderna: grupos de Lie, transporte paralelo y distribuciones no integrables. El mismo modelo permite describir y estudiar un rango muy amplio de fenómenos, desde los más prácticos (cómo estacionar un doble semiremolque, en reversa) hasta los más abstractos (la realización del grupo de Lie excepcional G2 como el grupo de simetría de una distribucion de rango 2 en una 5 variedad).

Reinventing the Wheel: The Chaotic Sandwheel , por Anthony Tongen. Conferencia de la semana , jueves 13 de septiembre, 12:00pm. Abstract:  The Malkus chaotic waterwheel, a tool to physically demonstrate Lorenzian dynamics, motivates the study of a chaotic sandwheel. We model the sandwheel in parallel with the waterwheel when possible, noting where methods may be extended and where no further analysis seems feasible at this point. Numerical simulations are used to compare and contrast the behavior of the sandwheel with the waterwheel. Simulations confirm that the sandwheel retains many of the elements of chaotic Lorenzian dynamics. However, bifurcation diagrams show the dramatic differences in the places where the order-chaos-order transitions occur.

Fecha de entrega: 20 de agosto Problema 1 Demuestra por inducción la identidad $latex 1 + 4 + 9 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ para todo $latex n\in\mathbb N$. Problema 2 Demuestra por inducción la identidad $latex 1 + 8 + 27 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2$ para todo $latex n\in\mathbb N$. Problema 3 Demuestra por inducción la desigualdad $latex 2^n > n$ para todo $latex n\in\N$. Problema 4 Demuestra por inducción la desigualdad $latex 2^n > n^2$ para todo número natural $latex n\ge 5$. Problema 5 Muestra que, si $latex a\equiv b \pmod m$ y $latex c\equiv d \pmod m$, entonces $latex ac \equiv bd \pmod m$. ( Sugerencia: Muestra que $latex m$ es divisor de $latex ac - bd$.) Problema 6 Resuelve la siguientes ecuaciones en clases residuales (es decir, encuentra la clase residual $latex x$ que satisface la ecuación), si es que tienen solución: $latex x + 6 \equiv 2 \pmod 4$ $latex 2x - 1 \equiv 4 \pmod 7$ $latex 3x + 2 \equiv 0 \pmod 6$ $latex 2x + 6 \...

Notas de la primer sesión de mi curso  Las matemáticas de los fractales , en el Primer Taller Internacional de Ciencia para Jóvenes , CIMAT, 16 - 21 julio 2012. Fractales.pdf

Conferencia de la semana / Seminario CUICBAS :  Modelos de cambio de presión transitoria para yacimientos heterogéneos , por Jorge X. Velasco Hernández, del Instituto Mexicano del Petróleo. Jueves 29 de marzo, 12:00pm, auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen:  Presentaremos los modelos clásicos de modelación de pruebas de presión y las dificultades que se presentan en su aplicación a yacimientos altamente heterogéneos o "fractales". Ilustraremos dichos modelos en casos reales nacionales particularmente en la formación Chicontepec y en los yacimientos naturalemnte fracturados de las cercanías de Villahermosa.

Seminario CUICBAS : The Halo Conjecture , por Paul Hagelstein, de la Universidad Baylor, en Waco, Texas. Jueves , 5:00pm , auditorio de la Facultad de Ciencias. Abstract: The Halo Conjecture has long provided a fascinating open problem in the theory of differentiation of integrals. Recent progress towards the resolution of this conjecture will be discussed, in particular the theorem of Hagelstein and Stokolos that any density basis consisting of a homothecy invariant collection of convex sets must necessarily differentiate L p for sufficiently large p. Connections between this result, the recent work of Bateman and Katz on Kakeya sets and directional maximal operators, and improvements on the well-known theorem of Cordoba and Fefferman relating the L p bounds of geometric maximal operators to those of certain multiplier operators will also be given.

Conferencia de la semana : The Needle Problem , por Paul Hagelstein, de la Universidad Baylor, en Waco, Texas. Jueves 10 de noviembre, 12:00pm, auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: We will consider the following famous problem of the Japanese mathematician Soichi Kakeya: What is the smallest possible area of a set in the plane in which a segment of length 1 can be turned around through 360 degrees?

El problema de momentos aplicado a la teoría de control , por Abdón Choque, UMSNH. Seminario CUICBAS . Viernes 30 de septiembre, 4:00pm. Auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: En la plática consideramos un sistema de control lineal descrito por ecuaciones diferenciales ordinarias con restricciones en el control. Mediante el método del problema de momentos hallaremos todo el conjunto de controles admisibles, los cuales pertenecen a la clase de funciones medibles acotadas en un intervalo de R . Estos controles permiten trasladar un estado inicial dado al origen. Para un mejor entendimiento, consideraremos un sistema de control en R 2 .

Fecha de entrega: 12 de septiembre, 10:30 am Resolver los ejercicios 3.9 (p. 34), 3.11 (p. 36), 3.14 y 3.15 (p. 40) del texto de R. S. Irving .

Fecha de entrega: 5 de septiembre, 10:30 am Resolver los ejercicios 3.5 (p. 33), 3.7 (p. 34) y 3.13 (p. 39) del texto de R. S. Irving .