Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Demuestra que, si $latex a,b,c\in\Q, a\not=0$, la ecuación $latex ax + b = c$ tiene solución en $latex \Q$, y es única. Problema 2 Demuestra que, si $latex \dfrac{p}{q}, \dfrac{m}{n}, \dfrac{u}{v}\in\Q$ satisfacen $latex \dfrac{p}{q} < \dfrac{m}{n}$ y $latex \dfrac{m}{n} < \dfrac{u}{v}$, entonces $latex \dfrac{p}{q} < \dfrac{u}{v}$.

Debido a la suspensión de clases de la Universidad para mañana, 31 de agosto, no tendremos clase de Fundamentos de matemáticas . La hora de oficina a las 4, sin embargo, no se cancela. También habrá tarea, desde luego. https://twitter.com/udec_oficial/status/903054441926070274?s=09

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Ordena los siguientes números racionales de menor a mayor: $latex \dfrac{2}{4}, \;\dfrac{-2}{-7}, \;\dfrac{5}{-2}, \;\dfrac{13}{-11}, \;\dfrac{1}{4}, \;\dfrac{44}{-60}, \;\dfrac{4}{5}, \;\dfrac{5}{4}, \;\dfrac{-23}{11}, \;\dfrac{5}{-5}$. Problema 2 Demuestra que, si $latex \dfrac{p}{q} = \dfrac{m}{n}$ y $latex q\not=-n$, entonces $latex \dfrac{p+m}{q+n} = \dfrac{p}{q}$.

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Calcula $latex \phi(n)$ para $latex n = 7, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 30, 60, 105$. Problema 2 Calcula la clase de congruencia de $latex 2^{340} \pmod{341}$. ¿Qué te dice sobre la inversa del teorema de Fermat?

Due date: September 1 Problem 1 Let $latex f_n:[a,b]\to\R$ a monotone sequence of continuous functions which converges pointwise to the continuous function $latex f:[a,b]\to\R$. Then $latex f_n\rightrightarrows f$ on $latex [a,b]$. Problem 2 Let $latex K:[0,1]\times[0,1]\to[0,1]$ be a continuous function and define the operator $latex \mathscr L:C([0,1])\to C([0,1])$ by $latex \displaystyle \mathscr Lf(x) = \int_0^1 K(x,y) f(y) dy$. Then, the image of the closed ball $latex \bar B_1(0)$ in $latex C([0,1])$ under $latex \mathscr L$ is compact. Such operator is called a  compact operator . Problem 3 Let $latex w:[0,1]\to\R$ be continuous. Then the operator $latex \displaystyle \mathscr Lf(x) = \int_0^x f(t) w(t)dt$ is compact. Problem 4 Let $latex \Omega\subset\R^m$ be open and $latex f_n:\Omega\to\R$ an equicontinuous sequence of functions that converges pointwise. Then $latex f_n$ converges uniformly on each compact subset of $latex \Omega$. Problem 5 Let  X be a compact metric space....

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Calcula la clase de congruencias de las siguientes potencias de enteros $latex 2^{82} \pmod 5$ $latex 3^{1502}\pmod{13}$ $latex 26^{1004}\pmod 7$ $latex 6^{654654654}\pmod{11}$ Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones, si tienen solución. $latex 8x\equiv 4\pmod 6$ $latex 15x\equiv 6 \pmod{21}$ Problema 3 Construye la tabla del grupo multiplicativo $latex \Z^*_8$. ¿Es este grupo abeliano? ¿Es cíclico?

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Expresa los siguientes números en la base indicada. 431 en base 5 219661 en base 60 13254 en base 12 Problema 2 Utiliza los criterios de divisibilidad vistos en clase para averiguar si los siguientes números son divisibles entre 3, 9 u 11. 13214 23144 22665 Problema 3 Describe un criterio de divisibilidad entre 8 para un número de tres dígitos o menos. ¿Cómo usas este criterio para un número de más dígitos?

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros, usando el algoritmo de Euclides. 30 y 84 792 y 561 568 y 4292 227761 y 661643 Problema 2 Decide si las siguientes ecuaciones tienen solución con enteros $latex x$ y $latex y$ y, en tal caso, encuentra sus soluciones. $latex 25x + 40y = 345$ $latex 66x + 561y = 22$ $latex 3145x + 23001y = 4$ $latex 3145x + 23001y = -85$

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Muestra las siguientes propiedades de divisibilidad. Si $latex n,a,b\in\Z$ y $latex n$ divide a $latex a$, entonces $latex n$ divide a $latex ab$. Si $latex a,b,c\in\Z$, $latex a$ divide a $latex b$ y $latex b$ divide a $latex c$, entonces $latex a$ divide a $latex c$. Problema 2 Indica cuáles de los siguientes enteros son números primos. 365, 401, 451, 517, 533, 543, 575, 693, 797, 823, 917, 993, 1011, 1035, 1131, 1383, 1513, 1697, 1741, 1945. Problema 3 Encuentra números $latex q$ y $latex r$ tales que, para cada par de enteros $latex a,b$, $latex b>0$, dados, $latex a=bq+r$ y $latex 0\le r < b$. $latex a=100, b=17$ $latex a=0, b=8$ $latex a= -25, b=11$ $latex a=-2,b=2$

Due date: August 25 Problem 1 Let  X  be a compact space and $latex f:X\to Y$ a continuous bijection. Then $latex f^{-1}:Y\to X$ is continuous. Give an example of a continuous bijection $latex f:X\to Y$, for a noncompact X , whose inverse is not continuous. Problem 2 Let $latex (X,d_1), (X,d_2)$ have the same convergent sequences. Then $latex (X,d_1)$ is compact if and only if $latex (X,d_2)$ is compact. Problem 3 Let $latex x_n$ be a Cauchy sequence and $latex x_{n_k}\to x$. Then $latex x_n \to x$. Problem 4 Give necessary and sufficient conditions for the discrete space $latex (X,d)$ to be compact. Problem 5 Let $latex x_k$ be a bounded sequence in the Euclidean space $latex \R^n$. Then it has a convergent subsequence (assume the result in $latex n=1$). A closed rectangle in $latex \R^n$ is compact. A closed ball in $latex \R^n$ is compact.

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Considera la sucesión definida por $latex a_1 = 1$, $latex a_2 = 2$, $latex a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2},$ $latex n\ge 3.$ Deduce una conjetura sobre la expresión de $latex a_n$, y demuéstrala. Considera ahora la sucesión definida por $latex a_1 = 1$, $latex a_2 = 1$, $latex a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2},$ $latex n\ge 3.$ De nuevo, deduce y demuestra una conjetura sobre la expresión de $latex a_n.$ Problema 2 Muestra que $latex F_{4n}$ es múltiplo de 3, para cada $latex n\ge 0$. Problema 3 Para $latex n\ge 0$, muestra que $latex F_0 + F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2} - 1$.

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que, dados tres números naturales, la suma de dos de ellos es un número par. Problema 2 Demuestra, o da un contraejemplo, para el siguiente enunciado:  Cualquier conjunto A de nueve números naturales contiene un subconjunto B tal que la suma de los elementos de B es un múltiplo de 10.

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ Problema 2 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2.$ Problema 3 (Desigualdad de Bernoulli) Muestra que, para todo número natural $latex n>1$ y todo real $latex \alpha>-1, \alpha\not=0$, $latex (1 + \alpha)^n > 1 + n\alpha$.

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que $latex \sqrt 2 + \sqrt 5$ es irracional. Problema 2 Muestra que, para todo  m , existe  k tal que, si $latex n\ge k$, entonces $latex (m-n)^2 > m^2.$ Problema 3 Muestra que existe un único elemento aditivo en $latex \Z$, es decir, un único $latex e\in\Z$ tal que $latex n + e = n$ para todo $latex n\in\Z$.

Due date: August 18 Problem 1 Let $latex f\in C^k(\mathbb S)$, a  k -continuously differentiable periodic function, with period $latex 2\pi$, and let $latex a_n$ be its  n th Fourier coefficient. There exists $latex C>0$ such that $latex |a_n| \le \dfrac{C}{|n|^k}$. The series $latex \sum a_n e^{inx}$ converges uniformly if $latex k\ge 2$. Problem 2 Let $latex f\in C(\mathbb S)$ be Lipschitz continuous,  ie there exists  A such that $latex |f(x) - f(y)| \le A|x-y|$ for every $latex x,y$. Fix $latex h>0$ and let $latex g_h(x) = f(x+h) - f(x-h)$. Then $latex \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|g_h(x)|^2 dx = \sum_{n\in\Z} 4|a_n|^2 |\sin nh|^2$, and thus $latex \displaystyle \sum_{n\in\Z} |a_n|^2|\sin nh|^2 \le A^2h^2$, where the $latex a_n$ are the Fourier coefficients of  f . Let $latex p\in\Z_+$ and $latex h = \dfrac{\pi}{2^{p+1}}$. Then $latex \displaystyle \sum_{2^{p-1} < |n|\le 2^p} |a_n|^2 \le \frac{A^2\pi^2}{2^{2p+1}}.$ $latex \displaystyle \sum_{2^{p-1}...

Les recomiendo este texto en línea:  Mathematical Reasoning: Writing and Proof , de Ted Sundstrom. El material de estas dos semanas de clase es, más o menos, el contenido de los primeros cinco capítulos del libro. Liga:  Mathematical Reasoning: Writing and Proof .

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que $latex n^3+n$ es par para todo entero  n . Problema 2 Muestra que, si $latex a,b,c$ son enteros, entonces el producto $latex (a-b)(a-c)(b-c)$ es par. Problema 3 Sea $latex p(x) = ax^2 + bx + c$ un polinomio cuadrático. Muestra que $latex p(1) = p(-1)$ si y solo si $latex p(2) = p(-2)$.  

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera los conjuntos $latex \N, \mathbb P, \Z$, de números naturales, números pares, y números enteros, respectivamente. Describe los siguientes conjuntos: $latex \N \cap \mathbb P$ $latex \N\setminus \mathbb P$ $latex \Z\setminus(\N\cup\mathbb P)$ $latex \mathbb P\setminus(\Z\cap\N)$ Problema 2 Muestra que $latex (A\cup B)\setminus B = A\setminus B$.

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto vacío? ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto $latex \{ 1\}?$ Problema 2 Sea $latex S_1 = \{u,n,o\}$, $latex S_2 = \{d,o,s\}$, $latex S_3 = \{t,r,e,s\}$, y así sucesivamente. ¿Para qué valores de k entre 1 y 10 se tiene que $latex |S_k|=4$? ¿Para qué valores de k entre 1 y 10 tenemos que $latex a \in S_k$? ¿Para qué valores de  k entre 1 y 10 tenemos que $latex \{a,e\}\subset S_k$? Calcula $latex S_2\cup S_4$ y $latex S_2\cap S_4$. Problema 3 Sea $latex U$ el conjunto de las 52 cartas que constituyen la baraja estándar. Sea $latex E$ el conjunto de las cartas marcadas con espadas, $latex D$ el conjunto de diamantes, $latex A$ el conjunto de aces, y $latex R$ el conjunto de reyes. Di que elementos pertenecen a los conjuntos mostrados a continuación y encuentra la cardinalidad de cada conjunto. $latex A \cap D$. $latex R \cup E$ $latex A \cap (E \cup D)$. $latex R \cup (A \cap E)$

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera las proposiciones $latex I=$ las tasas de interés bajan. $latex H = $ más gente compra casa. $latex S = $ la bolsa sube. $latex U = $ el desempleo aumenta. Escribe cada implicación, su inversa y su contrapositiva en palabras: $latex I\implies S$ $latex \sim U \implies H$ $latex S\implies (I\wedge H)$ Escribe cada uno de los siguientes enunciados en símbolos. Las tasas de interés bajan solo cuando aumenta el desempleo. El desempleo no sube cuando las tasas de interés bajan y más gente compra casas. Si más gente compra casas y el desempleo no aumenta, entonces la bolsa sube. Problema 2 Escribe cada enunciado utilizando los símbolos $latex \forall$ y $latex \exists$. Para todo número real positivo $latex \e$ existe un número real positivo $latex \delta$ tal que $latex x^2 < \e$ cuando $latex |x|<\delta$. Existe un entero $latex m$ con la propiedad de que para todo entero $latex x$ existe un entero $latex...

Due date: August 11 Problem 1 Let $latex d_M$ be the function on $latex \R^n$ given by $latex d_M(x,y) = \max\{ |x^1 - y^1|, \ldots, |x^n - y^n|\}.$ Then $latex d_M$ is a metric. Let $latex d_T$ be the function on $latex \R^n$ given by $latex d_T(x,y) = |x^1 - y^1| + \ldots + |x^n - y^n|.$ Then $latex d_T$ is a metric. Problem 2 For a metric space $latex (X,d)$, define $latex d_B(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1 + d(x,y)}.$ Are the metrics $latex d, d_B$ equivalent? Do they have the same convergent sequences? Problem 3 A discrete metric space $latex (X,d)$ is complete. Problem 4 Give an example of a pair of metric spaces with the same convergent sequences, but such that one is complete and the other is not. Problem 5 Let $latex x_n, y_n$ sequences in the metric space $latex (X,d)$ such that $latex d(x_n, y_n) \to 0$. Then $latex x_n$ converges if and only if $latex y_n$ does.

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera las proposiciones: P = "Daniel estudia"; Q = "Daniel obtiene buenas calificaciones"; y R = "Daniel busca ayuda cuando la necesita". Escribe cada una de las siguientes proposiciones en símbolos. “Daniel estudia pero no obtiene buenas calificaciones”. “Daniel busca ayuda cuando la necesita o no estudia”. “Daniel estudia o no estudia, y obtiene buenas calificaciones”. “Daniel estudia y busca ayuda cuando la necesita, o no obtiene buenas calificaciones”. Problema 2 Muestra que la proposición $latex (P \wedge \sim Q)\vee (\sim P \wedge Q) \vee (\sim P \vee Q)$ es una tautología, calculando su tabla de verdad. Problema 3 Utiliza tablas de verdad para verificar la ecuación $latex \sim(P\wedge Q) \wedge \sim Q = \sim Q$. Justifica con palabras la validez de esta ecuación. Problema 4 Demuestra la propiedad distributiva $latex (P\wedge Q) \vee R = (P\vee R) \wedge (Q\vee R)$.