Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Suponiendo que $latex \displaystyle \int_0^1 f = 6, \quad \int_0^2 f = 4, \quad \int_2^5 f = 1,$ encuentra cada una de las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_0^5 f$ $latex \displaystyle \int_1^2 f$ $latex \displaystyle \int_1^5 f$ $latex \displaystyle \int_2^0 f$ $latex \displaystyle \int_5^1 f$ Problema 2 Usa sumas inferiores y superiores adecuadas para demostrar que $latex \displaystyle 0{.}5 < \int_1^2 \frac{dx}{x} < 1;$ $latex \displaystyle 0{.}6 < \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2} < 1.$ Problema 3 Calcula los valores $latex F'(-1), F'(0), F'(1/2)\text{ y } F''(x)$ para cada una de las siguientes funciones. $latex \displaystyle F(x) = \int_0^x \frac{dt}{t^2 + 9}$ $latex \displaystyle F(x) = \int_x^1 t\sqrt{t^2 + 1} dt$ $latex \displaystyle F(x) = \int_1^x \sen\pi t dt$ $latex \displaystyle F(x) = \int_1^x \cos\pi t dt$ $latex \displaystyle F(x) = \int_2^x (t + 1)^3 dt$ Proble...

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Sea $latex R$ el paralelogramo con vértices $latex (1,0), (3,1), (4,4), (2,3)$. Muestra que $latex x = 1 + 2u + v \qquad y = u + 3v$ mapea el cuadrado unitario con vértices $latex (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ a $latex R$. Utiliza el pullback para evaluar $latex \displaystyle \int_R (2x + y) dxdy.$ Problema 2 Sea $latex R$ la región $latex R=\{ (x,y): 1\le x^2 + y^2 \le 2, y \ge |x| \}.$ Dibuja un bosquejo de $latex R$. Sea $latex u = x/y, v = x^2 + y^2$, de tal forma que $latex R$ se mapea al rectángulo $latex -1 \le u \le 1 \qquad 1 \le v \le 2.$ Muestra que $\latex dudv = 2(1 + u^2)dxdy$, y por lo tanto $latex dxdy = \dfrac{1}{2(1 + u^2)} dudv.$ Problema 3 Encuentra el Jacobiano de los siguientes cambios de variables. Coordenadas cilíndricas: $latex \begin{array}{rcl}x&=&r \cos\theta\\y&=&r\sen\theta\\z&=&z\end{array}$ Coordenadas esféricas $latex \begin{array}{rcl}x&=&\rho\cos\theta\cos\phi\\y&=&...

Fecha de entrega: 28 de octubre Problema 1 Un triángulo está formado por los ejes de coordenadas y una recta que pasa por el punto $latex (2,5)$, como en la figura. Determina el valor de la pendiente de esta recta que minimiza el área del triángulo. Problema 2 En un trozo rectangular de cartón de dimensiones $latex 8\times 15$ se han cortado cuatro cuadrados iguales, uno en cada esquina, como se observa en la figura. El pedazo cruciforme restante se dobla de manera que forme una caja sin tapa. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de los cuadrados que se corten para maximizar el volumen de la caja construida por este procedimiento? Problema 3 Al pasar de un medio a otro, un rayo de luz forma un ángulo de incidencia $latex \theta_i$ y un ángulo de refracción $latex \theta_R$, como se ve en la figura. Si las velocidades de la luz en ambos medios son $latex v_1, v_2$, respectivamente, muestra la ley de Snell, $latex \dfrac{\sen\theta_i}{\sen\theta_R} = \dfrac{v_1}{v_2},$ partiendo del prin...

Fecha de entrega: 28 de octubre Problema 1 Muestra que la función $latex f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ es continua en $latex \vec 0 = (0,0)$ y tiene derivadas parciales en todo $latex \R^2$. Sin embargo, muestra que $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$ no son continuas en $latex \vec 0$. ¿Es $latex f$ diferenciable en $latex \vec 0$? Problema 2 Sea $latex f:\R^n\to\R$ tal que $latex D_{\vec u}f(\vec x_0) = 0$ para todo $latex x_0\in\R^n$ y todo vector unitario $latex \vec u$. Muestra que $latex f$ es constante. Problema 3 Sean $latex \vec u_1 = (1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)$ y $latex \vec u_2 = ( -1/\sqrt 5, 2/\sqrt 5)$, y supongamos que, en $latex \vec x_0 = (3,5)$, tenemos $latex D_{\vec u_1}f(\vec x_0) = 3\sqrt 2\qquad\text{ y }\qquad D_{\vec u_2}f(\vec x_0) = -1/\sqrt 5.$ Calcula $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$ en $latex \vec x_0$. Problema 4 Calcula el gradiente $latex \nabla f$ para cada una de las siguie...

Fecha de entrega: 21 de octubre Problema 1 Encuentra los puntos críticos y los valores extremos locales de $latex f$. $latex f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ $latex f(x) = (1 - x)^2(1 + x)$ $latex f(x) = \dfrac{2}{x(x+1)}$ $latex f(x) = \Big( \dfrac{x - 2}{x + 2}\Big)^3$ $latex f(x) = \dfrac{x^2}{1 + x}$ $latex f(x) = x^3 \sqrt{1-x}$ $latex f(x) = |x-3| + |2x+1|$ $latex f(x) = x^{2/3} + 3x^{-1/3}$ $latex f(x) = \sen^2 x - \sqrt 3 \sen x, \quad 0 < x < \pi$ $latex f(x) = 2\sen^3 x - 3\sen x, \quad 0 < x < \pi$ Problema 2 Averigua si la función toma sus valores máximo y mínimo, y en qué puntos. $latex f(x) = x^2 - 4x + 1, \quad x\in[0,3]$ $latex f(x) = x + \dfrac{1}{x^2}$ $latex f(x) = (x-1)(x-2), \quad x\in[0,2]$ $latex f(x) = \dfrac{x^2}{x^2+1}, \quad x\in[-1,2]$ $latex f(x) = x\sqrt{3-x}$ $latex f(x) = (4x-1)^{1/3}(2x-1)^{2/3}$ $latex f(x) = 2\cos^3 x + 3\cos x, \quad x\in[0,\pi]$ $latex f(x) = \sen^4 x - \sen^2 x, \quad x\in[0,2\pi/3]$ $latex...

Fecha de entrega: 21 de octubre Problema 1 Para la función $latex \displaystyle f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0& x=y=0,\end{cases}$ muestra que no existe un número $latex L$ y un $latex \delta=0$ tal que $latex |(x,y)|<\delta$ implica $latex |f(x,y) - L|<1/4$. Problema 2 Demuestra que $latex \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} = 0$ mostrando explícitamente que, dado $latex \e>0$, es posible encontrar $latex \delta>0$ tal que $latex \sqrt{(x-1)^2 + y^2} < \delta$ implica $latex \Big| \dfrac{xy}{x^2 + y^2} \Big| < \e.$ Utiliza los siguientes pasos: Muestra que si $latex |(x,y) - (1,0)| < \delta$, entonces $latex -\delta < y < \delta$ y $latex 1- \delta < x < 1 +\delta$. De las desigualdades anteriores, muestra que si $latex 0 < \delta < 1$ entonces $latex \Big| \dfrac{xy}{x^2 + y^2} \Big| < \dfrac{\delta(1+\delta)}{(1-\delta)^2}$. Utiliza el paso anterior para encontrar $latex ...

Debido a que las labores en la universidad han sido suspendidas también para el viernes, la entrega de tareas de esta semana para las clases de Cálculo1 y Cálculo 3 se pospone para el lunes, 17 de octubre, a la hora de cada clase.

El lunes pasado, en la clase Cálculo 1 , vimos el teorema de Rolle. Hace años escribí un texto de Michel Rolle en el blog. Les paso el link: Michel Rolle .

Fecha de entrega: 17 de octubre Problema 1 Contesta las siguientes preguntas. Justifica tus respuestas. ¿Existe una función diferenciable $latex f$ tal que $latex f(0) = 2, f(2) = 5$ y $latex f'(x) \le 1$ en $latex (0,2)$? Si no existe, ¿por qué no? ¿Existe una función diferenciable $latex f$ que tome el valor 1 solo cuando $latex x= 0, 2\text{ y }3$, y que $latex f'(x) = 0$ solo cuando $latex x=-1, 3/4\text{ y }3/2$? Si no existe, ¿por qué? Problema 2 Considera la función cuadrática $latex f(x) = Ax^2 + Bx + C$. Muestra que, para cualquier intervalo $latex [a,b]$, el valor de $latex c$ que verifica la conclusión del teorema del valor medio es $latex c = \dfrac{a + b}{2}$, el punto medio del intervalo. Problema 3 Sean $latex f(x) = |x|, a = -1\text{ y }b = 1$. Muestra que no existe $latex c\in(a,b)$ tal que $latex f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Explica por qué esto no contradice al teorema del valor medio. Problema 4 Muestra los siguientes enunciados. El polinom...

Fecha de entrega: 17 de octubre Problema 1 Indica cuáles de las siguientes funciones $latex F:\R^2\to\R^2$ en el plano son tranformaciones lineales. En tal caso, calcula su forma matricial. Las letras $latex a, b, c, \varphi$ representan constantes. Corte : $latex F(x,y) = (x + cy, y)$ Traslación : $latex F(x,y) = (x + a, y + b)$ Expansión : $latex F(x,y) = (ax, by)$ Rotación : $latex F(x,y) = (r\cos(\theta + \varphi), r\sen(\theta + \varphi)$, si $latex x = r\cos\theta$ y $latex y = r\sen\theta$. Proyección : $latex F(\vec x) = \vec x_r = \dfrac{\vec x \cdot \vec r}{|\vec r|^2}\vec r$, donde $latex \vec r = (a,b)\not= \vec 0$. Reflexión : $latex F(\vec x) = \vec x - 2\vec x_{r\perp} = 2\vec x_r - \vec x$. Problema 2 Para las transformaciones $latex L, M$ definidas por $latex \begin{array}{rclrcl}L(\vec i) & = & \vec i - 2\vec k, & M(\vec i) & = & - \vec j + 3\vec k ,\\ L(\vec j) & = & 3\vec j + \vec k, & M(\vec j) & = & 5\vec i + \ve...

Fecha de entrega: 7 de octubre Problema 1 Calcula la derivada de las siguientes funciones. $latex f(x) = \dfrac{1}{1 - 2x}$ $latex f(x) = (1 + 2x)^5$ $latex f(x) = (x^5 - x^{10})^{20}$ $latex f(x) = \Big(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\Big)^3$ $latex f(x) = \Big(x - \dfrac{1}{x}\Big)^4$ $latex f(x) = \Big( x + \dfrac{1}{x}\Big)^3$ $latex f(x) = (x - x^3 + x^5)^4$ $latex f(x) = \Big( \dfrac{1}{x-1}\Big)^4$ $latex f(x) = (x^2 - 1)^{100}$ $latex f(x) = (x - x^2)^3$ $latex f(x) = (x^{-1} + x^{-2})^4$ $latex f(x) = \Big(\dfrac{4x+3}{5x+2}\Big)^3$ $latex f(x) = \Big( \dfrac{3x}{x^2 + 1}\Big)^4$ $latex f(x) = \big( (2x + 1)^2 + (x+1)^3\big)^4$ $latex f(x) = \Big( \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + x\Big)^{-1}$ $latex f(x) = \sen^4\sqrt x$ $latex f(x) = x \cos x^2$ $latex f(x) = \tan x^2$ $latex f(x) = (x + \cot \pi x)^4$ $latex f(x) = (x^2 - \sec 2x )^3$ Problema 2 Encuentra $latex dy/dx$ en $latex x=0$. $latex y = \dfrac{1}{1 + u^2}, u = 2x + 1$ $latex y = u +...

Fecha de entrega: 7 de octubre Problema 1 Para cada una de las siguientes integrales, haz un bosquejo de la región de integración y evalúa la integral. $latex \displaystyle \int_R (x^2 + y^2) dxdy, R = \{ (x,y) | 1 \le x\le 2, -1 \le y\le 1 \}$ $latex \displaystyle \int_R x \sen y dxdy, R = \{ (x,y) | 0\le x\le 1, x^2\le y\le 2x^2\}$ $latex \displaystyle \int_R x\cos y dxdy, R = \{ (x,y)| 0\le y\le \pi/2, 0\le x \le \sen y\}$ $latex \displaystyle \int_R e^{xy} dxdy, R = \{ (x,y)| 0\le x\le (\log y)/y, 2\le y\le 3 \}$ $latex \displaystyle \int_R (x^3 + 2xy) dxdy, R$ igual al paralelogramo con vértices $latex (1, 3), (3,4), (4, 6)$ y $latex (2, 5)$. Problema 2 Describe la región $latex R$ sobre la cual se integra la integral iterada $latex \displaystyle \int_0^1 \int_{x^2}^1 x\sqrt{1-y^2} dydx.$ Reescribe esta integral integrando primero con respecto a $latex x$. Evalúa la integral. ¿Cuál de los dos órdenes de integración es más fácil de evaluar? Problema 3 Repite el ejercicio ...