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Tarea 12, Varias variables

Fecha de entrega: 6 de mayo de 2011


Problema 1. Calcula $latex \omega\wedge\eta$ para las siguientes formas diferenciales en $latex \R^3$.

  1. $latex \omega = xdx - ydy, \eta = zdx\wedge dy + x dy\wedge dz$;

  2. $latex \omega = dx + dy + dz, \eta = dx\wedge dy + dx\wedge dz + dy\wedge dz$;

  3. $latex \omega = z dx\wedge dy + x dy\wedge dz, \eta = \omega$.


Problema 2. Sea $latex \omega$ la 2-forma diferencial en $latex \R^{2n}$ dada por

$latex \omega = dx^1\wedge dx^2 + dx^3\wedge dx^4 + \ldots + dx^{2n-1}\wedge dx^{2n}.$


Calcula

$latex \displaystyle \overbrace{\omega\wedge\omega\wedge\cdots\wedge\omega}^{n \text{veces}}$.


Problema 3. Sean $latex f,g:\R^n\to\R$ diferenciables. Muestra lo siguiente.

  1. $latex d(f + g)=df + dg$;

  2. $latex d(fg) = f dg + g df$;

  3. Si $latex h:\R^m\to\R^n$ es diferenciable, entonces $latex d(f\circ h) = h^*df$.


Problema 4. Calcula el diferencial exterior de las siguientes formas en $latex \R^4$.

  1. $latex \omega = (x^2 + x^3 + x^4)^2 dx^1$;

  2. $latex \omega = x^3x^4 dx^1\wedge dx^2 - x^1x^2 dx^3\wedge dx^4$.


Problema 5. Calcula el diferencial exterior de las siguientes formas en $latex \R^2$, y escribe el resultado en coordenadas polares.

  1. $latex \omega = ydx - xdy$;

  2. $latex \omega = x^2 dx + xy dy$.

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