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Tarea 13: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 8 de noviembre

Problema 1

Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ definida en $latex [-\pi,\pi]$ como $latex F(x) = x, x\in(-\pi, \pi)$, $latex F(\pm\pi)=0$.
Averiguar si la serie converge en cada $latex x$. ¿Converge uniformemente?

Problema 2

Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ dada por $latex F(x) = x(x+\pi), x\in[-\pi,0]$, y $latex F(x) = x(\pi-x), x\in[0,\pi]$.
De igual forma, discute la convergencia de la serie. También discute la convergencia de sus derivadas.

Problema 3

Muestra las siguientes identidades, para $latex k,n\in\mathbb Z_+$.
$latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \cos n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$
$latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin k x \sin n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$
$latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \sin n x dx = 0$

Problema 4

Considera la función $latex f(x) = \sin\dfrac{1}{x}, x\not=0$.
  1. Indica si $latex f$ es uniformemente continua en $latex (0,1)$.
  2. Indica si $latex f$ es uniformemente continua en $latex (1,\infty)$.

Problema 5

  1. Muestra que si $latex f$ es diferenciable y su derivada es acotada en $latex (a,b)$, entonces $latex f$ es uniformemente continua en $latex (a,b)$.
  2. Da un ejemplo de una función uniformemente continua y diferenciable en $latex (a,b)$, tal que su derivada no es acotada en $latex (a,b)$.

Comentarios

  1. Hola profe, 2 dudas.

    1) ¿Es posible que al sacar la serie de Fourier de una función F(x) obtenga 2 series diferentes?

    2) En el problema 2 pide discutir la convergencia de sus derivadas. ¿Quiere que discutamos la convergencia la serie de Fourier de F'(x) o quiere que discutamos sobre las derivadas de la serie de Fourier de F(x)?

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    Respuestas
    1. 1) No, no es posible.
      2) Discute si convergen las derivadas de las funciones trigonométricas de la serie de Fourier de F

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