La convergencia de una serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ se define en términos de la convergencia de la sucesión de sumas parciales $latex \displaystyle s_n = \sum_{k=0}^n a_k.$ Sin embargo, el de las sumas parciales no es el único método de sumabilidad de una serie. Los siguientes problemas elaboran sobre la sumabilidad de Cesàro.
Problema 1. Muestra que, si $latex s_n \to s$, entonces la sucesión de los promedios
también converge a $latex s$.
Si la sucesión de los promedios $latex \sigma_n$ converge a $latex s$, entonces decimos que la serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ es Cesàro sumable a $latex s$. El problema anterior, entonces, afirma que toda serie convergente es Cesàro sumable a su suma límite.
Problema 2. Da un ejemplo de una serie divergente que sea Cesàro sumable. (Sugerencia: Considera $latex (-1)^n.$)
Por lo tanto, sumabilidad de Cesàro no implica la convergencia de una serie. Sí lo hace si ponemos algunas hipótesis en los términos de la serie. Si $latex f(n)$ es una función en $latex \N$, y $latex g(n)$ es una función positiva en $latex \N$, decimos que $latex f(n) = O(g(n))$ si existe una constante $latex A>0$ tal que, para todo $latex n$,
Además, decimos que $latex f(n) = o(g(n))$ si
cuando $latex n\to\infty$. Claramente $latex f(n) = o(g(n))$ implica que $latex f(n) = O(g(n))$, pero la inversa es falsa.
Problema 3. Sea $latex a_n = o(1/n)$ tal que $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ es Cesàro sumable a $latex s.$ Entonces la serie converge a $latex s$.
Un teorema de Hardy establece, de hecho, que la hipótesis $latex a_n = O(1/n)$ es suficiente para obtener el resultado del problema anterior.
Consideramos ahora la sucesión $latex S_n^k$, para cada $latex r= 0, 1, \ldots$, definida por
Asímismo, consideramos la sucesión $latex A_n^r$, para cada $latex r= 0, 1, \ldots$, definida por
Por ejemplo,
$latex \displaystyle S_n^0 = s_n = \sum_{k=0}^n a_k;$
$latex \displaystyle S_n^1 = \sum_{l=0}^n S_l^0 = \sum_{k=0}^n (n + 1 - k)a_k;$
$latex \displaystyle S_n^2 = \sum_{l=0}^n S_l^1 = \sum_{k=0}^n \frac{(n + 1 - k)(n+2-k)}{2} a_k;$
$latex \displaystyle A_n^1 = \sum_{l=0}^n A_l^0 = n+1;$
$latex \displaystyle A_n^2 = \sum_{l=0}^n A_l^1 = \sum_{l=0}^n (l+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}.$
Problema 4. Muestra que, en general, $latex \displaystyle A_n^r = \binom{n+r}{r}$ y que $latex \displaystyle S_n^r = \sum_{k=0}^n A_{n-k}^r a_k.$
El resultado anterior se obtiene por inducción. Más aún, por el producto de Cauchy y la serie geométrica, podemos observar que, si $latex |x|<1$ y la serie $latex \displaystyle\sum_{n=0}^\infty u_n x^n$ converge,
donde $latex U_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n.$ Inductivamente, tenemos entonces
Así, definimos, para cada $latex \alpha\in\R$, las sucesiones $latex A_n^\alpha$ y $latex S_n^\alpha$ por medio de las fórmulas
Problema 5. Muestra las siguientes identidades.
Decimos que la serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ es $latex (C,\alpha)$-sumable a $latex s$ si la sucesión $latex \sigma_n^\alpha = \dfrac{S_n^\alpha}{A_n^\alpha} \to s$ cuando $latex n\to\infty$. Notamos que la sumabilidad $latex (C,0)$ corresponde a convergencia de $latex s_n$, y $latex (C,1)$ corresponde a la sumabilidad de Cesàro. Además, como $latex A_n^{-r} = 0$ para $latex n \ge r$, si $latex r$ es entero positivo, la sumabilidad $latex (C,\alpha)$ solo tiene sentido si $latex \alpha\not=-1,-2,\ldots$.
Observamos también que
Podemos generalizar el resultado del problema 1.
Problema 6. Si una serie es $latex (C,\alpha)$-sumable a $latex s$, para $latex \alpha > -1$, entonces es $latex (C,\beta)$-sumable a $latex s$ para todo $latex \beta > \alpha$.
Pueden leer más sobre sumabilidad de Cesàro, y otros métodos de sumabilidad, en A. Zygmund, Trigonometric Series, Vol. 1, Cambridge Univ. Press.
Problema 1. Muestra que, si $latex s_n \to s$, entonces la sucesión de los promedios
$latex \sigma_n = \dfrac{s_0 + s_1 + \ldots + s_n}{n+1}$
también converge a $latex s$.
Si la sucesión de los promedios $latex \sigma_n$ converge a $latex s$, entonces decimos que la serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ es Cesàro sumable a $latex s$. El problema anterior, entonces, afirma que toda serie convergente es Cesàro sumable a su suma límite.
Problema 2. Da un ejemplo de una serie divergente que sea Cesàro sumable. (Sugerencia: Considera $latex (-1)^n.$)
Por lo tanto, sumabilidad de Cesàro no implica la convergencia de una serie. Sí lo hace si ponemos algunas hipótesis en los términos de la serie. Si $latex f(n)$ es una función en $latex \N$, y $latex g(n)$ es una función positiva en $latex \N$, decimos que $latex f(n) = O(g(n))$ si existe una constante $latex A>0$ tal que, para todo $latex n$,
$latex |f(n)| \le A g(n).$
Además, decimos que $latex f(n) = o(g(n))$ si
$latex \dfrac{f(n)}{g(n)} \to 0$
cuando $latex n\to\infty$. Claramente $latex f(n) = o(g(n))$ implica que $latex f(n) = O(g(n))$, pero la inversa es falsa.
Problema 3. Sea $latex a_n = o(1/n)$ tal que $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ es Cesàro sumable a $latex s.$ Entonces la serie converge a $latex s$.
Un teorema de Hardy establece, de hecho, que la hipótesis $latex a_n = O(1/n)$ es suficiente para obtener el resultado del problema anterior.
Consideramos ahora la sucesión $latex S_n^k$, para cada $latex r= 0, 1, \ldots$, definida por
$latex S_n^0 = s_n, \qquad S_n^r = S_0^{r-1} + S_1^{r-1} + \ldots + S_n^{r-1}; \quad r = 1, 2, \ldots; n = 0, 1, \ldots.$
Asímismo, consideramos la sucesión $latex A_n^r$, para cada $latex r= 0, 1, \ldots$, definida por
$latex A_n^0 = 1, \qquad A_n^r = S_0^{r-1} + S_1^{r-1} + \ldots + S_n^{r-1}; \quad r = 1, 2, \ldots, n = 0, 1, \ldots.$
Por ejemplo,
$latex \displaystyle S_n^0 = s_n = \sum_{k=0}^n a_k;$
$latex \displaystyle S_n^1 = \sum_{l=0}^n S_l^0 = \sum_{k=0}^n (n + 1 - k)a_k;$
$latex \displaystyle S_n^2 = \sum_{l=0}^n S_l^1 = \sum_{k=0}^n \frac{(n + 1 - k)(n+2-k)}{2} a_k;$
$latex \displaystyle A_n^1 = \sum_{l=0}^n A_l^0 = n+1;$
$latex \displaystyle A_n^2 = \sum_{l=0}^n A_l^1 = \sum_{l=0}^n (l+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}.$
Problema 4. Muestra que, en general, $latex \displaystyle A_n^r = \binom{n+r}{r}$ y que $latex \displaystyle S_n^r = \sum_{k=0}^n A_{n-k}^r a_k.$
El resultado anterior se obtiene por inducción. Más aún, por el producto de Cauchy y la serie geométrica, podemos observar que, si $latex |x|<1$ y la serie $latex \displaystyle\sum_{n=0}^\infty u_n x^n$ converge,
$latex \displaystyle (1-x)^{-1}\sum_{n=0}^\infty u_n x^n = \sum_{n=0}^\infty x^n\sum_{n=0}^\infty u_n x^n = \sum_{n=0}^\infty U_n x^n,$
donde $latex U_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n.$ Inductivamente, tenemos entonces
$latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty A_n^r x^n = (1 - x)^{-r-1}; \quad \sum_{n=0}^\infty S_n^r x^n = (1 - x)^{-r-1} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n.$
Así, definimos, para cada $latex \alpha\in\R$, las sucesiones $latex A_n^\alpha$ y $latex S_n^\alpha$ por medio de las fórmulas
$latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n = (1 - x)^{-\alpha-1}; \quad \sum_{n=0}^\infty S_n^r x^n = (1 - x)^{-\alpha-1} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n.$
Problema 5. Muestra las siguientes identidades.
- $latex S_n^{-1} = a_n;$
- $latex A_n^\alpha = \dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n)}{n!};$
- $latex \displaystyle A_n^{\alpha + \beta + 1} = \sum_{k=0}^n A_k^\alpha A_{n-k}^\beta;\quad S_n^{\alpha + \beta + 1} = \sum_{k=0}^n S_k^\alpha A_{n-k}^\beta;$
- $latex \displaystyle A_n^\alpha = \sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}; \quad S_n^\alpha = \sum_{k=0}^n S_k^{\alpha-1};$
- $latex A_n^\alpha - A_{n-1}^\alpha = A_n^{\alpha-1};\quad S_n^\alpha - S_{n-1}^\alpha = S_n^{\alpha-1}$
- $latex \displaystyle S_n^\alpha = \sum_{k=0}^n A_{n-k}^\alpha a_k.$
Decimos que la serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ es $latex (C,\alpha)$-sumable a $latex s$ si la sucesión $latex \sigma_n^\alpha = \dfrac{S_n^\alpha}{A_n^\alpha} \to s$ cuando $latex n\to\infty$. Notamos que la sumabilidad $latex (C,0)$ corresponde a convergencia de $latex s_n$, y $latex (C,1)$ corresponde a la sumabilidad de Cesàro. Además, como $latex A_n^{-r} = 0$ para $latex n \ge r$, si $latex r$ es entero positivo, la sumabilidad $latex (C,\alpha)$ solo tiene sentido si $latex \alpha\not=-1,-2,\ldots$.
Observamos también que
$latex \displaystyle \sigma_n^\alpha = \frac{1}{A_n^\alpha} \sum_{k=0}^n A_{n-k}^\alpha a_k.$
Podemos generalizar el resultado del problema 1.
Problema 6. Si una serie es $latex (C,\alpha)$-sumable a $latex s$, para $latex \alpha > -1$, entonces es $latex (C,\beta)$-sumable a $latex s$ para todo $latex \beta > \alpha$.
Pueden leer más sobre sumabilidad de Cesàro, y otros métodos de sumabilidad, en A. Zygmund, Trigonometric Series, Vol. 1, Cambridge Univ. Press.
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