Tarea 12: Introducción al análisis

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Fecha de entrega: 4 de noviembre

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Problema 1

Muestra que $\displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+x^2}$ es diferenciable en todo $x$.

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Problema 2

Sean $s_1, s_2, s_3, \ldots$ funciones acotadas tales que convergen a $F$.

1. ¿Podemos concluir que $F$ es acotada?
2. Si $s_n$ converge uniformemente a $F$, ¿podemos concluir que $F$ es acotada?

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Problema 3

Determina si las siguientes series convergen uniformemente en el conjunto dado.

1. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^2 x^2 e^{-n^2|x|}$ en $\mathbb R$.
2. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^n \sin\frac{1}{3^nx}$ en $(0,\infty)$.
3. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{\pi}{2}-\arctan(n^2(1+x^2))\Big)$ en $\mathbb R$.

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Problema 4

1. Encuentra un ejemplo de una serie de potencias $\sum a_n x^n$ que converge en $x=R$ tal que la serie de derivadas $\sum na_nx^{n-1}$ no converge en $x = R$.
2. Utiliza el ejemplo anterior para encontrar un ejemplo de una serie $\sum f_n$ de funciones diferenciables que converge uniformemente en un intervalo, pero que su límite no es diferenciable en ese intervalo.

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Problema 5

1. Encuentra un ejemplo de una serie uniformemente convergente en $(a,b)$ que no converge uniformemente en $[a,b]$.
2. Muestra que si una serie converge en $[a,b]$, uniformemente en $(a,b)$, entonces converge uniformemente en $[a,b]$.

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