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Tarea 12: Introducción al análisis


Fecha de entrega: 4 de noviembre


Problema 1

Muestra que $latex \displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+x^2}$ es diferenciable en todo $latex x$.

Problema 2

Sean $latex s_1, s_2, s_3, \ldots$ funciones acotadas tales que convergen a $latex F$.
  1. ¿Podemos concluir que $latex F$ es acotada?
  2. Si $latex s_n$ converge uniformemente a $latex F$, ¿podemos concluir que $latex F$ es acotada?

Problema 3

Determina si las siguientes series convergen uniformemente en el conjunto dado.
  1. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^2 x^2 e^{-n^2|x|}$ en $latex \mathbb R$.
  2. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^n \sin\frac{1}{3^nx}$ en $latex (0,\infty)$.
  3. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{\pi}{2}-\arctan(n^2(1+x^2))\Big)$ en $latex \mathbb R$.

Problema 4

  1. Encuentra un ejemplo de una serie de potencias $latex \sum a_n x^n$ que converge en $latex x=R$ tal que la serie de derivadas $latex \sum na_nx^{n-1}$ no converge en $latex x = R$.
  2. Utiliza el ejemplo anterior para encontrar un ejemplo de una serie $latex \sum f_n$ de funciones diferenciables que converge uniformemente en un intervalo, pero que su límite no es diferenciable en ese intervalo.

Problema 5

  1. Encuentra un ejemplo de una serie uniformemente convergente en $latex (a,b)$ que no converge uniformemente en $latex [a,b]$.
  2. Muestra que si una serie converge en $latex [a,b]$, uniformemente en $latex (a,b)$, entonces converge uniformemente en $latex [a,b]$.

Comentarios

  1. En el problema 2, ¿Todas las sumas parciales deben tener la misma cota? ¿O basta con que cada suma parcial tenga su propia cota?

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    Respuestas
    1. Cada suma parcial es una función acotada, y las podrían ser distintas.

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