Tarea 7: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 27 de septiembre

Problema 1

Para $latex x>-1, x\not=0$, muestra que

1. $latex (1+x)^\alpha > 1 + \alpha x$, si $latex \alpha > 1$ o $latex \alpha < 0$;
2. $latex (1+x)^\alpha < 1 + \alpha x$, si $latex 0 < \alpha < 1$.

Problema 2

Muestra que cada una de las siguientes ecuaciones tiene exactamente una raíz real.

1. $latex x^{13} + 7x^3 - 5 = 0$
2. $latex 3^x + 4^x = 5^x$

Problema 3

Explica el error en el siguiente uso de la regla de L'Hospital: si $latex f(x) = x^2\sin(1/x), g(x) = x$, entonces $latex f$ y $latex g$ son continuas, $latex f(0) = g(0) = 0$, y

$latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{2x\sin(1/x) - \cos(1/x)}{1}$

no existe.

Problema 4

Modifica la demostración de la regla $latex \infty/\infty$ de L'Hospital vista en clase para demostrar el siguiente enunciado: si $latex f,g$ son diferenciables en un intervalo que contiene a $latex x_0$, excepto a lo más en $latex x_0$, $latex g'$ nunca es cero en ese intervalo, $latex \lim_{x\to x_0}|g(x)|=\infty$ y

$latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \infty$,

entonces

$latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$.

Problema 5

1. Usa la regla de L'Hospital para demostrar que $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x} = 0$.
2. Muestra por inducción que, para $latex n\in\mathbb N$, $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^n} = 0$.