Tarea 6: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 20 de septiembre

Problema 1

Muestra que el enunciado "todo conjunto acotado no vacío tiene supremo" implica el principio de intervalos encajados.

Problema 2

Demuestra que si $latex f$ es diferenciable en $latex [a,b]$ y $latex f'$ es monótona en pedazos en $latex [a,b]$, entonces es $latex f'$ continua en $latex [a,b]$.

Problema 3

Sea $latex p(x)$ un polinomio de grado al menos 2 cuyas raíces son reales y distintas. Demuestra que las raíces de $latex p'(x)$ tienen que ser reales.

Explica qué pasa si algunas de las raíces de $latex p(x)$ son múltiples.

Problema 4

Sea $latex f$ continua en $latex [a,b]$, diferenciable en $latex (a,b)$, y tal que $latex f'(x)\not=0$ para todo $latex x\in(a,b)$. Muestra que $latex f(a)\not=f(b)$.

Problema 5

Muestra que la aproximación

$latex \sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2$

tiene un error de a lo más $latex |x|^3/2$, si $latex |x|<1/2$.