Tarea 1: Álgebra superior

Fecha de entrega: 20 de agosto

Problema 1

Demuestra por inducción la identidad

$1 + 4 + 9 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

para todo $n\in\mathbb N$.

Problema 2

Demuestra por inducción la identidad

$1 + 8 + 27 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2$

para todo $n\in\mathbb N$.

Problema 3

Demuestra por inducción la desigualdad

$2^n > n$

para todo $n\in\N$.

Problema 4

Demuestra por inducción la desigualdad

$2^n > n^2$

para todo número natural $n\ge 5$.

Problema 5

Muestra que, si $a\equiv b \pmod m$ y $c\equiv d \pmod m$, entonces

$ac \equiv bd \pmod m$.

(Sugerencia: Muestra que $m$ es divisor de $ac - bd$.)

Problema 6

Resuelve la siguientes ecuaciones en clases residuales (es decir, encuentra la clase residual $x$ que satisface la ecuación), si es que tienen solución:

1. $x + 6 \equiv 2 \pmod 4$


2. $2x - 1 \equiv 4 \pmod 7$


3. $3x + 2 \equiv 0 \pmod 6$


4. $2x + 6 \equiv 1 \pmod 5$.