Tarea 1: Análisis real 2

Álgebras y $latex \sigma$-álgebras

Problema 1

Sea $latex X$ un conjunto, $latex \{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal P(X)$, y

$latex \displaystyle \limsup E_j = \bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{j=k}^\infty E_j.$

Entonces $latex \limsup E_j$ es el conjunto de $latex x\in X$ tal que $latex x\in E_j$ para infinitos $latex j$.

Problema 2

Sea $latex X$ un conjunto, $latex \{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal P(X)$, y

$latex \displaystyle \liminf E_j = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcap_{j=k}^\infty E_j.$

Entonces $latex \liminf E_j$ es el conjunto de $latex x\in X$ tal que $latex x\in E_j$ para todos excepto a lo más un número finito de $latex j$.

Problema 3

Un álgebra $latex \mathcal A$ es una $latex \sigma$-álgebra si, y solo si, es cerrada bajo uniones contables crecientes: si $latex \{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal A$ y $latex E_1\subset E_2\subset\ldots$, entonces $latex \bigcup E_j \in \mathcal A$.