Tarea 3, Análisis real 2

El teorema de Carathéodory

Problema 9

Sea $latex \mu^*$ una medida exterior en $latex X$ y $latex \{A_j\}$ una sucesión de $latex \mu^*$-medibles disjuntos. Entonces $latex \mu^*\big( E\cap \bigcup A_j \big) = \sum \mu^*(E\cap A_j)$ para cada $latex E\subset X.$

Problema 10

Sea $latex \mathcal A\subset \mathcal P(X)$ un álgebra, $latex \mathcal A_\sigma$ la colección de uniones contables de conjuntos en $latex \mathcal A$, y $latex \mathcal A_{\sigma\delta}$ la colección de intersecciones contables de conjuntos en $latex \mathcal A_\sigma$. Sea $latex \mu_0$ una premedida en $latex \Alg$ and $latex \mu^*$ la medida exterior inducida.

1. Para todo $latex E\subset X$ y $latex \e>0$, existe $latex A\in\Alg_\sigma$, con $latex E\subset A$ y $latex \mu^*(A)\le \mu^*(E) + \e.$


2. Si $latex \mu^*(E) < \infty$, entonces $latex E$ es $latex \mu^*$-medible si, y solo si, existe $latex B\in\Alg_{\sigma\delta}$ tal que $latex E\subset B$ y $latex \mu^*(B\setminus E) = 0$.


3. Si $latex \mu_0$ es $latex \sigma$-finita, podemos eliminar la restricción $latex \mu^*(E)<\infty$ en el inciso anterior.

Problema 11

Sea $latex \mu^*$ una medida exterior en $latex X$, $latex \mathcal M$ la $latex \sigma$-álgebra de conjuntos $latex \mu^*$-medibles, $latex \bar\mu = \mu^*|_{\mathcal M}$, y $latex \mu^+$ la medida exterior inducida por la premedida $latex \bar\mu$ en $latex \mathcal M$ (como visto en clase).

1. Si $latex E\subset X$, entonces $latex \mu^*(E) \le \mu^+(E)$, y tenemos igualdad si y solo si existe $latex A\in\mathcal M$ tal que $latex A\supset E$ y $latex \mu^*(A) = \mu^*(E)$.


2. Si $latex \mu^*$ es inducida por una premedida, entonces $latex \mu^* = \mu^+$.


3. Existe una medida exterior $latex \mu^*$ en $latex X = \{0,1\}$ tal que $latex \mu^*\not=\mu^+$.

Problema 12

Sea $latex (X, \Alg, \mu)$ un espacio de medida $latex \sigma$-finito, $latex \mu^*$ la medida exterior inducida por la premedida $latex \mu$ en $latex \Alg$ (como visto en clase), y $latex \mathcal M$ la $latex \sigma$-álgebra de conjuntos $latex \mu^*$-medibles. Entonces $latex \bar\mu = \mu^*|_{\mathcal M}$ es la completitud de $latex \mu$.