Tarea 4, Análisis real 2

Funciones medibles e integración de funciones nonegativas

Definimos $latex \overline\R = [-\infty,\infty]$, y la colecciónes de borelianos en $latex \overline\R$ como

$latex \mathcal B_{\overline\R} = \{ E\subset\overline\R: E\cap\R\in\mathcal B_\R\}.$

Problema 13

$latex \mathcal B_{\overline\R}$ es generada por

1. $latex \{ (a, \infty]: a\in\R\}$;


2. $latex \{ [a, \infty]: a\in\R\}$;


3. $latex \{ [-\infty,a): a\in\R\}$; o


4. $latex \{ [-\infty,a]: a\in\R\}$.

Problema 14

Sea $latex f:X\to\overline\R$ y $latex Y=f^{-1}(\R)$. Entonces $latex f$ es medible si y solo si $latex f^{-1}(\{-\infty\})\in\mathcal M$, $latex f^{-1}(\{\infty\})\in\mathcal M$ y $latex f$ es medible en $latex Y$.

Problema 15

Si $latex (f_n)$ es una sucesión de funciones medibles en $latex X$, entonces el conjunto de las $latex x$ donde $latex \lim f_n(x)$ existe es medible.

Problema 16

Si $latex f:\R\to\R$ es monótona, entonces $latex f$ es medible.

Problema 17

Sea $latex (f_n)$ una sucesión en $latex L^+$ tal que $latex f_n\to f$ punto por punto y $latex \int f = \lim \int f < \infty$. Entonces $latex \int_E f = \lim \int_E f_n$ para todo $latex E\in\mathbb M.$

Sin embargo, el resultado no es cierto si $latex \int f = \lim\int f_n = \infty$.

Problema 18

Sea $latex f\in L^+$, y definimos $latex \lambda(E) = \int_E f d\mu$ para $latex E\in\mathbb M$. Entonces $latex \lambda$ es una medida en $latex \mathbb M$ y, para cualquier $latex g\in L^+$, $latex \int g d\lambda = \int fg d\mu.$

Problema 19

Si $latex f_n$ decrece punto por punto a $latex f$, y $latex \int f_1 < \infty$, entonces $latex \int f = \lim\int f_n$.