Tarea 2: Análisis real 2

Medidas

Problema 4

Si $latex \mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n$ son medidas en $latex (X, \mathcal A)$, y $latex a_1, a_2, \ldots, a_n\in[0,\infty)$, entonces $latex \sum a_j\mu_j$ es una medida en $latex (X,\mathcal A)$.

Problema 5

Si $latex (X,\mathcal A, \mu)$ es un espacio de medida y $latex \{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal A$, entonces

$latex \mu(\liminf E_j) \le \liminf \mu(E_j)$.

Además, si $latex \mu(\bigcup_j E_j) < \infty$,

$latex \mu(\limsup E_j) \ge \limsup \mu(E_j)$.

Problema 6

Si $latex (X,\mathcal A, \mu)$ es un espacio de medida y $latex E\in\mathcal A$, entonces $latex \mu_E(F) = \mu(E\cap F)$ es una medida en $latex (X,\mathcal A)$.

Problema 7

Toda medida $latex \sigma$-finita es semifinita.

Problema 8

Si $latex \mu$ es semifinita y $latex \mu(E)=\infty$, para todo $latex c>0$ existe $latex F\subset E$ tal que $latex c < \mu(F) < \infty$.