Tarea 9, Álgebra 3

Fecha de entrega: 8 de abril

Problema 1. Muestra que los siguientes polinomios sobre $\Q$ no son solubles por radicales.

1. $x^5 - 4x+2$


2. $x^5 - 4x^2 + 2$


3. $x^5 - 6x^2 + 3$

Problema 2. En general, si $N$ es un entero mayor que 1 y $p$ es primo, entonces el polinomio $x^5 - Npx + p$, sobre $\Q$, no es soluble por radicales.

Problema 3. Si $f$ es un polinomio irreducible sobre $K\subset\C$ y una de sus raíces es expresable por radicales, entonces $f$ es soluble sobre $K$.

Problema 4. Resuelve la ecuación $x^6 + 6x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 1 = 0$ por radicales. (Sugerencia: Utiliza el cambio de variable $u = x + \dfrac{1}{x}$ y la fórmula de Cardano.)

Problema 5. Da un ejemplo de una extensión radical $L:K$ y un campo intermedio $K\subset M\subset L$ tal que $M:K$ no es radical. (Sugerencia: Considera el problema anterior.)