Tarea 11, Varias variables

Fecha de entrega: 15 de abril, 2011

Problema 1. Dibuja un bosquejo de los siguientes campos vectoriales en $latex \R^2$:

1. $latex F(x,y) = (-y,x)$;


2. $latex F(x,y) = (x,0)$.

Problema 2. Calcula el producto cuña $latex \phi\wedge\psi$ de las siguientes 1-formas en $latex \R^3$.

1. $latex \phi = 3dx + dz, \quad\psi = dy - dz$;


2. $latex \phi = dx - dy + 2dz, \quad\psi = 3dx - 4dy - 2dz$.

Escribe el resultado en la base $latex dy\wedge dz, dz\wedge dx, dx\wedge dy$.

Problema 3. Sean $latex \phi, \psi\in(\R^3_p)^*$. Muestra que $latex \phi\wedge\psi$ es bilineal y alternante, y que $latex \phi\wedge\psi = -\psi\wedge\phi.$

Problema 4. Calcula el diferencial $latex d\omega$ de las siguientes 1-formas diferenciales en $latex \R^3.$

1. $latex \omega(x,y,z) = (z^2 - x^2)dx + (y^2 - z^2)dy + (x^2 - y^2)dz$;


2. $latex \omega(x,y,z) =(3x^2 - y^2z)dx - 2xyz dy - xy^2 dz$.

Problema 5. Sea

$latex T:\overbrace{V\times\cdots\times V}^k\to\R$

multilineal y alternante. Muestra que si $latex \sigma\in S_K$, entonces

$latex T(v_{\sigma(1)}, \ldots,v_{\sigma(k)}) = \text{sgn}(\sigma) T(v_1,\ldots,v_k).$