Tarea 10, Varias variables

Fecha de entrega: 8 de abril

Problema 1. Muestra que, si $latex p<1$, la función $latex f_p:(0,1)\to\R$ dada por $latex f_p(x) = \dfrac{1}{x^p}$ es integrable y calcula $latex \displaystyle \int_{(0,1)}f_p$.

Problema 2. Sea $latex f:(a,b)\to\R$ continua tal que $latex f(x)\ge 0$ para todo $latex x\in(a,b)$. Muestra que $latex f$ es integrable si y solo si

$latex \displaystyle \lim_{\e\to0} \int_{[a+\e,b-\e]}f$

existe.

Problema 3. Sean $latex A_1,\ldots,A_k$ abiertos y disjuntos, y $latex A\subset\R^n$ abierto, tales que

$latex A_1\cup \ldots \cup A_k = A.$

Muestra que $latex f$ es integrable en $latex A$ si, y solo si, para cada $latex i$, $latex f_i = f|_{A_i}$ es integrable en $latex A_i$ y, en tal caso,

$latex \displaystyle\int_A f = \sum_{i=1}^k \int_{A_i} f_i.$

Problema 4. Sea $latex T:\R^n\to\R^n$ una transformación lineal y $latex R\subset\R^n$ un rectángulo. Muestra lo siguiente.

1. Si $latex T(e_i) = \begin{cases}e_i & i\not=j\\\lambda e_j & i=j,\end{cases}$
   entonces el volumen de $latex T(R)$ es $latex |\lambda| \cdot v(R)$, donde $latex v(R)$ es el volumen de $latex R$. Aquí $latex e_1,\ldots,e_n$ es la base estándar de $latex \R^n$.


2. Si $latex T(e_i) = \begin{cases}e_i & i \not= j,k\\e_k & i = j\\e_j & i = k,\end{cases}$
   entonces $latex v(T(R)) = v(R)$.


3. Si $latex T(e_i) = \begin{cases}e_i & i \not= j\\e_j + e_k & i=j,\end{cases}$
   entonces $latex v(T(R)) = v(R)$.


4. Concluye que $latex v(T(R)) = |\det T|\cdot v(R)$ para toda transformación lineal $latex T$.

Problema 5. Utiliza el resultado del ejemplo visto en clase para mostrar que la integral impropia

$latex \displaystyle\int_{\R^n} e^{-|x|^2} dx = \lim_{N\to\infty} \int_{[-N,N]^n} e^{-|x|^2} dx = \pi^{n/2}.$