Ricardo A. Sáenz

La siguiente es la lista de los proyectos finales del curso Introducción al análisis . El proyecto final constituye el 50% de la calificación ordinaria. Julio César Alcaraz Siqueiros: Fórmula de Wallis Sandra Paola Hernández Pimentel: Funciones aditivas La fecha de entrega del proyecto es el 13 de diciembre, antes de la 1:00pm (hora del examen escrito). Estaré en mi oficina durante esta semana, disponible para preguntas sobre los proyectos.

Problema 1. Indica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si $latex f$ es diferenciable en todo su dominio, entonces $latex f'$ es continua. Falso. La función $latex f(x) = x^2 \sin\dfrac{1}{x},$ $latex x\not=0,$ $latex f(0)=0,$ es diferenciable pero $latex f'$ no es continua en cero. Si $latex f\cdot g$ es diferenciable, entonces $latex f$ y $latex g$ son diferenciables. Falso. Si $latex f=0$ y $latex g(x) = |x|,$ entonces $latex f\cdot g = 0$ es diferenciable, pero $latex g$ no lo es. Si $latex f\circ g$ es diferenciable, entonces $latex f$ y $latex g$ son diferenciables. Falso. Mismo ejemplo que en el anterior. Si las funciones $latex f$ y $latex g:[a,b]\to\R$ son Riemann-integrables, entonces $latex fg$ es Riemann-integrable. Verdadero. Visto en clase. Si las funciones $latex f$ y $latex g:[a,b]\to\R$ son Riemann-integrables y $latex g(x)\not=0$ para todo $latex x\in[a,b]$, entonces $latex f/g$ es Riemann-integrable. Falso. Si $latex f=1$ en ...

Tarea 15

Tarea 14

Tarea 13

Tarea 12

Tarea 11

Tarea 10

Terry Tao publicó en su blog, con motivo de su curso Teoría de la medida , una colección de estrategias para resolver problemas de teoría de la medida. Algunas de estas estrategias las hemos visto, y usado, en nuestra clase. Les recomiendo la lectura de esta colección, que incluye una discusión de situaciones generales donde pueden aplicarlas.

Tarea 9

Tarea 8

Les paso el link al libro gratis Introduction to Real Analysis , de William Trench, que les puede servir como referencia (y ayuda extra para el examen).

Tarea 7

Los siguientes problemas corresponden a integración de funciones en $latex L^+$, en un espacio de medida $latex (X,\mathscr A,\mu)$. Problema 1. Sea $latex \phi\in L^+$ simple. Entonces, la función $latex \displaystyle A \mapsto \int_A \phi = \int \phi\cdot \chi_A,$ definida para $latex A\in\mathscr A$, es una medida. Problema 2. Generaliza el problema anterior a cualquier función $latex f\in L^+$. Problema 3. Encuentra una sucesión $latex \phi_n\in L^+$ tal que converge a $latex 0$ punto por punto, pero la sucesión de integrales $latex \displaystyle \int \phi_n$ no es acotada. Problema 4. Muestra que el Lema de Fatou implica el Teorema de Convergencia Monótona. Problema 5. Sea $latex f\in L^+$ tal que $latex \displaystyle \int f < \infty$. Entonces El conjunto $latex \{ x: f(x) = \infty\}$ es de medida cero. El conjunto $latex \{x : f(x) > 0\}$ es $latex \sigma$-finito. Problema 6. Sea $latex (f_n)$ tal que $latex f_n\to f$ y $latex \displaystyle \int f_n \to \int f ...

Tarea 6

Sobre funciones medibles. Discutiremos la solución de estos problemas en la próxima clase, antes de iniciar el estudio de la integral de Lebesgue. Problema 1. Sea $latex (f_n)$ una sucesión de funciones medibles en $latex X$. Entonces, el conjunto $latex \{ x\in X: \lim f_n(x) \text{ existe} \}$ es medible. Problema 2. Si $latex f: X\to \overline\R$ es tal que $latex f^{-1}\big((r,\infty]\big)\in\mathscr A$ para cada $latex r\in\Q$, entonces $latex f$ es medible. Problema 3. Si $latex X = A\cup B$, con $latex A,B\in\mathscr A$, entonces una función $latex f$ en $latex X$ es medible si y solo si es medible en $latex A$ y en $latex B$ (vistos como subespacios de $latex X$). Problema 4. El supremo de un conjunto incontable de funciones medibles puede ser no medible. Problema 5. Si $latex f:\R\to\R$ es monótona, entonces es Borel medible.

Sobre medidas de Borel en $latex \R$. Problema 1. Sea $latex \mu$ una medida de Borel y $latex \mu(E) < \infty$. Entonces, para cada $latex \e>0$, existe una unión finita de intervalos abiertos $latex U$ tal que $latex \mu(E\triangle U) < \e$. Problema 2. Sea $latex F$ creciente y continua por la derecha, y sea $latex \mu_F$ la medida de Borel inducida por $latex F$. Entonces $latex \mu\big(\{ a \}\big) = F(a) - F(a-)$; $latex \mu\big([a,b)\big) = F(b-) - F(a-)$; $latex \mu\big([a,b]\big) = F(b) - F(a-)$; y $latex \mu\big( (a,b) \big) = F(b-) - F(a)$. Para $latex x\in\R$, $latex F(x-)$ es el límite de $latex F$ por la izquierda en $latex x$. Problema 3. Considera el conjunto no-medible $latex N$ discutido en clase, y sea $latex E$ un conjunto Lebesgue-medible. Si $latex E\subset N$, entonces $latex m(E) = 0$. Si $latex m(E)>0$, entonces $latex E$ contiene un subconjunto no medible. ( Sugerencia: Considera el caso $latex E\subset[0,1]$ y las intersecciones $l...

Tarea 5

Tarea 4

Terry Tao dará este semestre el curso introductorio de teoría de la medida en UCLA y estará publicando las notas de su curso en su blog. Ya ha iniciado con el prólogo , donde discute sobre el problema de la medida y la relación con la integral. Desde luego, recomiendo esta notas como referencia adicional en nuestro curso de fractales (primera parte), además de alentarlos a resolver los ejercios propuestos: 245A, prologue: The problem of measure .