Ricardo A. Sáenz

Como comenté en clase, la página History of Appproximation Theory tiene una lista (con PDF incluídos) de los artículos más importantes en esta área. En esta lista se encuentra, desde luego, el artículo original de Weierstrass (Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen, Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin 633-639 and 789-805 , 1885), así como las demostraciones originales de Bernstein , de Lebesgue , y de Landau , entre otros. También tienen un link al artículo original de Fejér ( Sur les fonctions bornees et integrables, Comptes Rendus Hebdomadaries, Seances de l'Academie de Sciences, Paris, 131 (1900), 984-987).

Tarea 7

Tarea 7

El espacio de funciones continuas

Tarea 6

Tarea 6

El problema 4 del examen de análisis real pedía mostrar lo siguiente. Sea $latex F_n$ una sucesión decreciente de conjuntos compactos no vacíos en un espacio métrico X. Es decir, $latex F_n\not=\emptyset$ y $latex F_{n+1}\subset F_n$ para todo $latex n$. Entonces $latex \displaystyle \bigcap_n F_n \not=\emptyset.$ Para mostrar esto, tomamos, para cada $latex n$, un $latex x_n\in F_n$ (hemos asumido que cada $latex F_n$ no es vacío). Como $latex F_{n+1}\subset F_n$ para cada $latex n$, esto implica que $latex F_m\subset F_n$ para todo $latex m\ge n$, y en particular la sucesión $latex (x_n)$ es una sucesión en $latex F_1$. Como $latex F_1$ es compacto, entonces tiene una subsucesión que converge, digamos $latex x_{n_k}\to x$. Mostraremos que $latex x\in F_n$ para todo $latex n$, y entonces $latex x\in\bigcap F_n.$

Los exámenes de Análisis real y Análisis de Fourier son este viernes, 11am y 3pm respectivamente. Esta nota está abierta para discusión sobre estos exámenes (ambas materias). En los comentarios pueden realizar preguntas, observaciones, etc., sobre el material visto en clase, con miras al examen del viernes. Lo estaré, y espero que también lo hagan ustedes, revisando frecuentemente para responder a sus comentarios.

Tarea 5 Para los primeros dos problemas, pueden utilizar el hecho que $latex l^2(\Z)$, el espacio de sucesiones "dobles" $latex (a_n)_{n=-\infty}^\infty$ tales que $latex \sum_n |a_n|^2 < \infty$, es un espacio con producto interno $latex \displaystyle \langle (a_n),(b_n) \rangle \le \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \overline{b_n}.$ La serie se entiende simétricamente, desde luego.

Tarea 5

Espacios compactos

Tarea 4

El Problema 4 de la Tarea 3 de Análisis de Fourier consistía en mostrar que, si $latex f$ tiene límites por la izquierda $latex f(x^-)$ y por la derecha $latex f(x^+)$ en el punto $latex x$, entonces tanto las sumas de Cesàro como las sumas de Abel convergen a $latex \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$ en $latex x$. Mostraremos el siguiente teorema, que implica ambos resultados. Teorema. Sea $latex \{K_n\}$ una aproximación a la identidad de núcleos pares, o sea, $latex K_n(-x) = K_n(x)$. Si $latex f$ es Riemann-integrable en el círculo y tiene límites por la izquierda $latex f(x^-)$ y por la derecha $latex f(x^+)$ en $latex x$, entonces $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} f*K_n(x) = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}.$

El Problema 3 de la Tarea 3 de Análisis de Fourier consistía en demostrar el siguiente teorema de Weierstrass, sobre la aproximación de funciones continuas en un intervalo con polinomios. Teorema. Si $latex f$ es continua en el intervalo $latex [a,b]\subset\R$, entonces, para cada $latex \e>0$, existe un polinomio $latex p(x)$ tal que $latex |f(x)-p(x)|<\e$ para todo $latex x\in[a,b]$. Mostraremos que este teorema es consecuencia del teorema de Fejér sobre aproximaciones de funciones continuas sobre el círculo por polinomios.

Tarea 4