Esta semana, tanto en Cálculo como en Introducción al análisis, hemos estudiado el Teorema del Valor Medio (TVM) y algunas de sus aplicaciones. El ingrediente principal en la demostración del TVM es, de hecho, un caso particular, el Teorema de Rolle. Así que aquí escribiré un poco sobre Michel Rolle, cuyo nombre lleva este teorema.
Michel Rolle, nacido en 1652 en Ambert, fue un autodidacta. Hijo de un encargado de una tienda, tuvo dificultades para asistir a la escuela más allá de la primaria, aunque desde muy joven consiguió trabajos como escribano para algunos notarios y abogados. A los 24 años viajó a Paris, donde consiguió trabajo como secretario y contador.
Sus habilidades matemáticas le permitieron ser exitoso en su trabajo, y siempre tuvo tiempo suficiente para estudiar por su cuenta matemáticas. Estudió con mucho cuidado el trabajo de Diofanto, además de que siguió el trabajo de sus paisanos contemporáneos Bachet de Meziriac y Jacques Ozanam. Este último, también autodidacta, fue un apasionado de las matemáticas recreativas, y frecuentemente publicaba acertijos y curiosidades matemáticas muy populares en Francia.
En 1682, Rolle publicó la solución de un problema propuesto por Ozanam: Encontrar cuatro números tales que la diferencia entre cada dos de ellos es tanto la suma de los primeros tres como un cuadrado perfecto. La solución de Rolle fue calificada de "elegante", y le dio fama entre los círculos de entusistas matemáticos. Jean-Baptiste Colbert, en ese entonces Contralor General de Finanzas, otorgó a Rolle una beca como premio a su publicación. El Marqués de Louvois, Ministro de Guerra, lo contrató como tutor para su hijo, además de ofrecerle un puesto administrativo en el ministerio.
En notación moderna, el problema de Ozanam puede escribirse de la siguiente manera: Encontrar cuatro enteros $latex x<y<z<w$ tales que $latex y-x = z-y = w-z = x+y+z=n^2$. El problema se reduce entonces a resolver un sistema de cuatro ecuaciones lineales, cuya solución está dada por
Así que sólo basta con tomar cualquier múltiplo de tres, $latex n=3k$, para obtener cuartetos de soluciones. Hay que recordar que, en la época de Rolle, el álgebra lineal apenas estaba en gestación.
Rolle fue admitido como miembro de la Academia Real de Ciencias en 1685. En 1690 publicó el libro Traite d'algebre, que comprende sus estudios en la teoría de ecuaciones. En él, aparece su "método de las cascadas", el cual le permite estudiar raíces distintas de la ecuación $latex f(x)=0$. Un año más tarde publica Demonstration d'une Methode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez, en donde explica con más detalle su método, además de contener las demostraciones completas de sus resultados, las cuales faltaban en el Traite.
El método de Rolle consiste en lo siguiente: La cascada de la ecuación $latex f(x)=0$ es la ecuación obtenida de multiplicar $latex f(x)$ por la progresión aritmética $latex 0,1,2,\ldots$. Es decir, si $latex f(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$, entonces la cascada de la ecuación está dada por
Rolle demostró que, si la ecuación $latex f(x)=0$ tiene soluciones $latex a$ y $latex b$, entonces la cascada tiene al menos una solución $latex c$ entre $latex a$ y $latex b$. Observamos que la cascada de $latex f(x)=0$, en notación moderna, es igual a la ecuación $latex x \dfrac{df}{dx}(x)=0$. Actualmente enunciamos el resultado de Rolle de la siguiente forma.
Teorema de Rolle. Si la función continua $latex f:[a,b]\to\mathbb R$ es diferenciable en $latex (a,b)$ y $latex f(a)=f(b)=0$, entonces existe $latex c\in(a,b)$ tal que $latex \dfrac{df}{dx}(c)=0$.
La demostración moderna, desde luego, utiliza la existencia del máximo y mínimo de una función continua en un intervalo cerrado, además del hecho de que la derivada de una función en sus puntos extremos interiores es igual a $latex \phantom{}0$.
En 1699 Rolle recibió la Pensión de Geometría de la Academia, lo cual le permitió dedicarse por completo a las matemáticas. Para ese entonces publicó Methode pour resoudre les equations indeterminees de l'algebre, en donde continúa sus estudios de ecuaciones algebraicas. En particular, cuestionaba algunos métodos de su paisano Descartes, sobre todo respecto al orden de los números negativos: Rolle sospechaba que el orden correcto, por ejemplo, entre -2 y -5, era -2>-5, a diferencia de Descartes.
Paradójicamente, Rolle dedicó buena parte de sus trabajos en criticar duramente las nuevas técnicas del cálculo infinitesimal, dudando la validez de los métodos, basados en tomar "límites de cocientes entre 0". Rolle sí terminó por aceptar la validez y utilidad del cálculo infinitesimal, aunque nunca se enteró que su teorema se convertiría en uno de los principales pilares del cálculo diferencial.
Rolle murió de un segundo ataque al corazón en 1719.
Como comentario al calce, Rolle fue el primerio en utilizar la notación $latex \sqrt[n]{x}$ para referirse a la raíz $latex n$-ésima de un número. Esta notación aparece por primera vez en su Traite d'algebre.
Michel Rolle, nacido en 1652 en Ambert, fue un autodidacta. Hijo de un encargado de una tienda, tuvo dificultades para asistir a la escuela más allá de la primaria, aunque desde muy joven consiguió trabajos como escribano para algunos notarios y abogados. A los 24 años viajó a Paris, donde consiguió trabajo como secretario y contador.
Sus habilidades matemáticas le permitieron ser exitoso en su trabajo, y siempre tuvo tiempo suficiente para estudiar por su cuenta matemáticas. Estudió con mucho cuidado el trabajo de Diofanto, además de que siguió el trabajo de sus paisanos contemporáneos Bachet de Meziriac y Jacques Ozanam. Este último, también autodidacta, fue un apasionado de las matemáticas recreativas, y frecuentemente publicaba acertijos y curiosidades matemáticas muy populares en Francia.
En 1682, Rolle publicó la solución de un problema propuesto por Ozanam: Encontrar cuatro números tales que la diferencia entre cada dos de ellos es tanto la suma de los primeros tres como un cuadrado perfecto. La solución de Rolle fue calificada de "elegante", y le dio fama entre los círculos de entusistas matemáticos. Jean-Baptiste Colbert, en ese entonces Contralor General de Finanzas, otorgó a Rolle una beca como premio a su publicación. El Marqués de Louvois, Ministro de Guerra, lo contrató como tutor para su hijo, además de ofrecerle un puesto administrativo en el ministerio.
En notación moderna, el problema de Ozanam puede escribirse de la siguiente manera: Encontrar cuatro enteros $latex x<y<z<w$ tales que $latex y-x = z-y = w-z = x+y+z=n^2$. El problema se reduce entonces a resolver un sistema de cuatro ecuaciones lineales, cuya solución está dada por
$latex x = -\dfrac{2}{3}n^2, \qquad y = \dfrac{1}{3}n^2, \qquad z=\dfrac{4}{3}n^2, \qquad w=\dfrac{7}{3}n^2.$
Así que sólo basta con tomar cualquier múltiplo de tres, $latex n=3k$, para obtener cuartetos de soluciones. Hay que recordar que, en la época de Rolle, el álgebra lineal apenas estaba en gestación.
Rolle fue admitido como miembro de la Academia Real de Ciencias en 1685. En 1690 publicó el libro Traite d'algebre, que comprende sus estudios en la teoría de ecuaciones. En él, aparece su "método de las cascadas", el cual le permite estudiar raíces distintas de la ecuación $latex f(x)=0$. Un año más tarde publica Demonstration d'une Methode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez, en donde explica con más detalle su método, además de contener las demostraciones completas de sus resultados, las cuales faltaban en el Traite.
El método de Rolle consiste en lo siguiente: La cascada de la ecuación $latex f(x)=0$ es la ecuación obtenida de multiplicar $latex f(x)$ por la progresión aritmética $latex 0,1,2,\ldots$. Es decir, si $latex f(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$, entonces la cascada de la ecuación está dada por
$latex a_1x + 2a_2x^2 + \ldots + na_n x^n=0$.
Rolle demostró que, si la ecuación $latex f(x)=0$ tiene soluciones $latex a$ y $latex b$, entonces la cascada tiene al menos una solución $latex c$ entre $latex a$ y $latex b$. Observamos que la cascada de $latex f(x)=0$, en notación moderna, es igual a la ecuación $latex x \dfrac{df}{dx}(x)=0$. Actualmente enunciamos el resultado de Rolle de la siguiente forma.
Teorema de Rolle. Si la función continua $latex f:[a,b]\to\mathbb R$ es diferenciable en $latex (a,b)$ y $latex f(a)=f(b)=0$, entonces existe $latex c\in(a,b)$ tal que $latex \dfrac{df}{dx}(c)=0$.
La demostración moderna, desde luego, utiliza la existencia del máximo y mínimo de una función continua en un intervalo cerrado, además del hecho de que la derivada de una función en sus puntos extremos interiores es igual a $latex \phantom{}0$.
En 1699 Rolle recibió la Pensión de Geometría de la Academia, lo cual le permitió dedicarse por completo a las matemáticas. Para ese entonces publicó Methode pour resoudre les equations indeterminees de l'algebre, en donde continúa sus estudios de ecuaciones algebraicas. En particular, cuestionaba algunos métodos de su paisano Descartes, sobre todo respecto al orden de los números negativos: Rolle sospechaba que el orden correcto, por ejemplo, entre -2 y -5, era -2>-5, a diferencia de Descartes.
Paradójicamente, Rolle dedicó buena parte de sus trabajos en criticar duramente las nuevas técnicas del cálculo infinitesimal, dudando la validez de los métodos, basados en tomar "límites de cocientes entre 0". Rolle sí terminó por aceptar la validez y utilidad del cálculo infinitesimal, aunque nunca se enteró que su teorema se convertiría en uno de los principales pilares del cálculo diferencial.
Rolle murió de un segundo ataque al corazón en 1719.
- En MacTutor: Michel Rolle
- En Wikipedia: Michel Rolle (inglés); Michel Rolle (español)
- En The Galileo Project: Rolle, Michel
- En BookRags: Michel Rolle; World of Mathematics on Michel Rolle
- En ScienceWorld: Rolle, Michel (1652-1719)
Como comentario al calce, Rolle fue el primerio en utilizar la notación $latex \sqrt[n]{x}$ para referirse a la raíz $latex n$-ésima de un número. Esta notación aparece por primera vez en su Traite d'algebre.
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