En la clase de Cálculo 1, resolvimos el Problema 5 de la Tarea 10, observando que la solución a la ecuación $latex F^\prime(a)=0$, para el punto crítico, no tiene una solución racional, aunque dimos la aproximación $latex a\approx 14.6$ basada en el Teorema del Valor Intermedio.
Sin embargo, sí es posible resolver explícitamente la ecuación, y aquí explico cómo.
Recordemos que la función a minimizar está dada por
y observamos que $latex F(a) \to \infty$ cuando $latex a\to 8$ o $latex a\to\infty$. Entonces, el mínimo ocurre en un punto crítico de $latex F$ mayor que 8.
Para obtener el punto crítico, resolvemos la ecuación $latex F^\prime(a) = 0$. Calculamos entonces
Queremos entonces resolver $latex 2a(a-8)^3 + 72a(a-8) - 72a^2=0$. Observamos que podemos factorizar $latex 2a$, así que queremos resolver la ecuación
En lugar de expandir el polinomio (como lo hicimos en clase), haremos el cambio de variable $latex a\mapsto x+8$, motivado por el factor $latex (a-8)$ que aparece en el primer y segundo términos del lado izquierdo de la ecuación. Entonces obtenemos
La ecuación $latex x^3 - 288=0$ si se puede resolver explícitamente: su única solución real está dada por $latex x=\sqrt[3]{288} = \sqrt[3]{8\times 36} = 2\sqrt[3]{36}$. Entonces, el único punto crítico mayor que 8 de F(a) está dado por $latex a = 8 + 2\sqrt[3]{36}$.
Como este punto crítico es único, $latex F$ debe tomar su mínimo en él. Podemos verificar utilizando el criterio de la segunda derivada. Calculamos
$latex F^{\prime\prime}(a) = 2 + \frac{72}{(a-8)^2} - \frac{144a}{(a-8)^3} - \frac{144a}{(a-8)^3} + \frac{216a^2}{(a-8)^4} = 2 + \frac{72}{(a-8)^2} - \frac{288a}{(a-8)^3} + \frac{216a^2}{(a-8)^4}.$
Evaluamos
$latex \displaystyle F^{\prime\prime}(8+2\sqrt[3]{36}) = 2 + \frac{72}{(2\sqrt[3]{36})^2} - \frac{288(8+2\sqrt[3]{36})}{(2\sqrt[3]{36})^3} + \frac{216(8+2\sqrt[3]{36})^2}{(2\sqrt[3]{36})^4}$
$latex \displaystyle F^{\prime\prime}(8+2\sqrt[3]{36}) = 2 + \frac{72}{24\sqrt[3]{6}} - \frac{288(8+2\sqrt[3]{36})}{288} + \frac{216\times4(4+\sqrt[3]{36})^2}{288\times2\sqrt[3]{36}}$
$latex \displaystyle F^{\prime\prime}(8+2\sqrt[3]{36}) = 2 + \frac{3}{\sqrt[3]{6}} - (8+2\sqrt[3]{36}) + \frac{3(16 + 8\sqrt[3]{36} + (\sqrt[3]{36})^2}{2\sqrt[3]{36}}$
$latex \displaystyle F^{\prime\prime}(8+2\sqrt[3]{36}) = 2 + \frac{3}{\sqrt[3]{6}} - 8 - 2\sqrt[3]{36} + \frac{24}{\sqrt[3]{36}} + 12 + \frac{3}{2}\sqrt[3]{36} = 6 + 4\sqrt[3]{6} > 0,$
por lo que entonces $latex F$ toma un mínimo en $latex 8+2\sqrt[3]{36}$.
Para finalizar, notamos que $latex 8+2\sqrt[3]{36} \approx 14.6$, que obtuvimos en clase.
Sin embargo, sí es posible resolver explícitamente la ecuación, y aquí explico cómo.
Recordemos que la función a minimizar está dada por
$latex \displaystyle F(a) = a^2 + \Big( \frac{6a}{a-8} \Big)^2$,
y observamos que $latex F(a) \to \infty$ cuando $latex a\to 8$ o $latex a\to\infty$. Entonces, el mínimo ocurre en un punto crítico de $latex F$ mayor que 8.
Para obtener el punto crítico, resolvemos la ecuación $latex F^\prime(a) = 0$. Calculamos entonces
$latex \displaystyle F^\prime(a) = 2a + \frac{72a}{(a-8)^2} - \frac{72a^2}{(a-8)^3} = \frac{2a(a-8)^3 + 72a(a-8) - 72a^2}{(a-8)^3}.$
Queremos entonces resolver $latex 2a(a-8)^3 + 72a(a-8) - 72a^2=0$. Observamos que podemos factorizar $latex 2a$, así que queremos resolver la ecuación
$latex (a-8)^3+ 36(a-8) - 36a=0$.
En lugar de expandir el polinomio (como lo hicimos en clase), haremos el cambio de variable $latex a\mapsto x+8$, motivado por el factor $latex (a-8)$ que aparece en el primer y segundo términos del lado izquierdo de la ecuación. Entonces obtenemos
$latex (a-8)^3+ 36(a-8) - 36a \mapsto x^3 + 36x - 36(x+8) = x^3 - 288$.
La ecuación $latex x^3 - 288=0$ si se puede resolver explícitamente: su única solución real está dada por $latex x=\sqrt[3]{288} = \sqrt[3]{8\times 36} = 2\sqrt[3]{36}$. Entonces, el único punto crítico mayor que 8 de F(a) está dado por $latex a = 8 + 2\sqrt[3]{36}$.
Como este punto crítico es único, $latex F$ debe tomar su mínimo en él. Podemos verificar utilizando el criterio de la segunda derivada. Calculamos
$latex F^{\prime\prime}(a) = 2 + \frac{72}{(a-8)^2} - \frac{144a}{(a-8)^3} - \frac{144a}{(a-8)^3} + \frac{216a^2}{(a-8)^4} = 2 + \frac{72}{(a-8)^2} - \frac{288a}{(a-8)^3} + \frac{216a^2}{(a-8)^4}.$
Evaluamos
$latex \displaystyle F^{\prime\prime}(8+2\sqrt[3]{36}) = 2 + \frac{72}{(2\sqrt[3]{36})^2} - \frac{288(8+2\sqrt[3]{36})}{(2\sqrt[3]{36})^3} + \frac{216(8+2\sqrt[3]{36})^2}{(2\sqrt[3]{36})^4}$
$latex \displaystyle F^{\prime\prime}(8+2\sqrt[3]{36}) = 2 + \frac{72}{24\sqrt[3]{6}} - \frac{288(8+2\sqrt[3]{36})}{288} + \frac{216\times4(4+\sqrt[3]{36})^2}{288\times2\sqrt[3]{36}}$
$latex \displaystyle F^{\prime\prime}(8+2\sqrt[3]{36}) = 2 + \frac{3}{\sqrt[3]{6}} - (8+2\sqrt[3]{36}) + \frac{3(16 + 8\sqrt[3]{36} + (\sqrt[3]{36})^2}{2\sqrt[3]{36}}$
$latex \displaystyle F^{\prime\prime}(8+2\sqrt[3]{36}) = 2 + \frac{3}{\sqrt[3]{6}} - 8 - 2\sqrt[3]{36} + \frac{24}{\sqrt[3]{36}} + 12 + \frac{3}{2}\sqrt[3]{36} = 6 + 4\sqrt[3]{6} > 0,$
por lo que entonces $latex F$ toma un mínimo en $latex 8+2\sqrt[3]{36}$.
Para finalizar, notamos que $latex 8+2\sqrt[3]{36} \approx 14.6$, que obtuvimos en clase.
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