La siguiente es una lista de ejercicios relacionados con el material visto en clase sobre las métricas de Carathéodory y Kobayashi y sus aplicaciones.
Problema 1. Sea $latex (f_n)$ una sucesión de funciones holomorfas de $latex \mathbb D$ a $latex \mathbb D$ que convergen normalmente a $latex f_0$. Entonces $latex f_0:\mathbb D\to\mathbb D$ ó $latex f_0\equiv c$, donde la constante $latex c$ satisface $latex |c|=1.$
Problema 2. En general, si $latex (f_n)$ es una sucesión de funciones holomorfas del dominio $latex \Omega$ a $latex \Omega$ que converge normalmente a $latex f_0$, entonces $latex \text{im }f_0\subset\Omega$ ó $latex f_0$ es igual a una constante $latex w_0\in\text{fr }\Omega$.
Problema 3. Sea $latex z_0\in\mathbb S^1$ y $latex z_n = z_0^n$. Entonces existe una subsucesión $latex z_{n_k}\to 1$.
Problema 4. Sea $latex \rho_C^\Omega$ la métrica de Carathéodory en el disco $latex D_r(z_0)$. Entonces
para todo $latex z\in\Omega$, donde $latex \rho_{\mathbb D}$ es la métrica de Poincaré en $latex \mathbb D$.
Problema 5. Sea $latex \Omega$ un dominio acotado con frontera $latex C^2$, y $latex w\in\Omega$. Entonces existe una vecindad $latex V$ de $latex w$ tal que $latex \Omega\cap V$ es simplemente conexo.
Problema 6. Sea $latex \mathbb D^*=\mathbb D\setminus\{0\}$ el disco puntuado. ¿Es $latex \text{Aut}(\mathbb D^*)$ compacto?
Problema 1. Sea $latex (f_n)$ una sucesión de funciones holomorfas de $latex \mathbb D$ a $latex \mathbb D$ que convergen normalmente a $latex f_0$. Entonces $latex f_0:\mathbb D\to\mathbb D$ ó $latex f_0\equiv c$, donde la constante $latex c$ satisface $latex |c|=1.$
Problema 2. En general, si $latex (f_n)$ es una sucesión de funciones holomorfas del dominio $latex \Omega$ a $latex \Omega$ que converge normalmente a $latex f_0$, entonces $latex \text{im }f_0\subset\Omega$ ó $latex f_0$ es igual a una constante $latex w_0\in\text{fr }\Omega$.
Problema 3. Sea $latex z_0\in\mathbb S^1$ y $latex z_n = z_0^n$. Entonces existe una subsucesión $latex z_{n_k}\to 1$.
Problema 4. Sea $latex \rho_C^\Omega$ la métrica de Carathéodory en el disco $latex D_r(z_0)$. Entonces
$latex \displaystyle \rho_C^\Omega(z) = \frac{1}{r}\rho_{\mathbb D}\Big(\frac{z-z_0}{r}\Big)$
para todo $latex z\in\Omega$, donde $latex \rho_{\mathbb D}$ es la métrica de Poincaré en $latex \mathbb D$.
Problema 5. Sea $latex \Omega$ un dominio acotado con frontera $latex C^2$, y $latex w\in\Omega$. Entonces existe una vecindad $latex V$ de $latex w$ tal que $latex \Omega\cap V$ es simplemente conexo.
Problema 6. Sea $latex \mathbb D^*=\mathbb D\setminus\{0\}$ el disco puntuado. ¿Es $latex \text{Aut}(\mathbb D^*)$ compacto?
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