Soluciones al examen 3, Cálculo 1

Problema 1. Calcula las siguientes derivadas.

1. $latex \dfrac{d}{dx}\Big(x^3-2x + \dfrac{1}{x^3}\Big)$

$latex \displaystyle\frac{d}{dx}\Big(x^3-2x + \dfrac{1}{x^3}\Big) = 3x^2 - 2 - \frac{3}{x^4}$.

2. $latex \dfrac{d}{dx}\dfrac{x}{(x^2-1)^{2/3}}$

$latex \displaystyle\frac{d}{dx}\dfrac{x}{(x^2-1)^{2/3}} = \frac{d}{dx}\Big(x(x^2-1)^{-2/3}\Big) = (x^2-1)^{-2/3} - \frac{2}{3}x(x^2-1)^{-5/3}(2x)$

$latex \displaystyle\frac{d}{dx}\dfrac{x}{(x^2-1)^{2/3}} = (x^2-1)^{-2/3} - \frac{4}{3}x^2(x^2-1)^{-5/3} = - \frac{x^2+3}{3(x^2-1)^{5/3}}$

3. $latex \dfrac{d}{dx}\Big(x\sin (x^2) - \dfrac{\cos(x^2)}{x}\Big)$

$latex \displaystyle\dfrac{d}{dx}\Big(x\sin (x^2) - \dfrac{\cos(x^2)}{x}\Big) = \sin(x^2) + x\cos(x^2)(2x) + \frac{\cos(x^2)}{x^2} + \frac{\sin(x^2)(2x)}{x}$

$latex \displaystyle\dfrac{d}{dx}\Big(x\sin (x^2) - \dfrac{\cos(x^2)}{x}\Big) = 3\sin(x^2) + \Big(2x^2 + \frac{1}{x^2}\Big)\cos(x^2)$

4. $latex \dfrac{d^2}{dx^2} (x\tan x)$

$latex \displaystyle\dfrac{d^2}{dx^2} (x\tan x) = \frac{d}{dx}(\tan x + x(1+\tan^2 x))$

$latex \displaystyle\dfrac{d^2}{dx^2} (x\tan x) = 1+\tan^2 x + 1+\tan^2 x + 2x\tan x(1+\tan^2 x)$

$latex \displaystyle\dfrac{d^2}{dx^2} (x\tan x) =2 + 2x\tan x + 2\tan^2 x + 2x\tan^3 x$

5. $latex \dfrac{d^3}{dx^3}(x^2 - 3x +2 \cos x)$

$latex \dfrac{d^3}{dx^3}(x^2 - 3x +2 \cos x) = 2\sin x$

6. $latex \dfrac{d}{dx} \arctan \Big(\dfrac{y}{x}\Big)$

$latex \displaystyle\dfrac{d}{dx} \arctan \Big(\dfrac{y}{x}\Big)= \frac{1}{1+(y/x)^2}\frac{d}{dx}\Big(\frac{y}{x}\Big) = \frac{x^2}{x^2+y^2}\Big(\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x^2}\Big)$

Problema 2. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva descrita por la ecuación, en el punto dado.

1. $latex y = x\tan x$, en el punto $latex \Big(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\Big)$

La pendiente $latex m$ de la recta está dada por la derivada $latex \dfrac{dy}{dx}$ en $latex x=\dfrac{\pi}{4}$, por lo que calculamos

$latex \dfrac{dy}{dx}=\tan x + x(1+\tan^2x)$,

y entonces $latex m = 1 + \dfrac{\pi}{2}$, donde hemos usado el hecho que $latex \tan\dfrac{\pi}{4}=1$. Así que la ecuación de la recta está dada por

$latex y - \dfrac{\pi}{4} = \Big(1 + \dfrac{\pi}{2}\Big) \Big( x - \dfrac{\pi}{2} \Big)$.

2. $latex x^2y + \sin(\pi xy) - 2xy + 3y^2 = 2$, en el punto $latex (1,1)$

Derivamos implícitamente para obtener $latex \dfrac{dy}{dx}$ en $latex (1,1)$:

$latex 2xy + x^2\dfrac{dy}{dx} + \cos(\pi xy)\Big( \pi y + \pi x\dfrac{dy}{dx}\Big) -2y -2x\dfrac{dy}{dx}+6y\dfrac{dy}{dx} =0$.

Evaluando en $latex (1,1)$ obtenemos la ecuación

$latex -\pi + (5-\pi)\dfrac{dy}{dx} = 0$,

y de aquí que la pendiente de la recta es $latex m =\dfrac{\pi}{5-\pi}$. La ecuación de la recta tangente está dada entonces por

$latex y - 1 = \Big(\dfrac{\pi}{5-\pi}\Big)(x-1)$.