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Mostrando las entradas de noviembre, 2019

Guía para el segundo examen parcial: Introducción al análisis

El segundo examen parcial es este viernes, y aquí tienen una guía del material cubierto que puede ayudarles a prepararse. Completitud de los reales Equivalencias entre los enunciados de completitud Principio de intervalos encajados Axioma del supremo Teorema de Bolzano-Weierstrass Criterio de convergencia de Cauchy Convergencia de series absolutamente convergentes Series Convergencia y criterio de Cauchy Convergencia absoluta Criterios de convergencia por comparación Criterios del cociente y la raíz Criterio de condensación de Cauchy; criterio p Criterio de la integral Convergencia condicional Series alternantes Truco de Abel Criterio de Dirichlet Reordenamientos Teorema de Riemann Series hipergeométricas Criterio de Gauss Series de funciones Convergencia uniforme Criterio de Cauchy Continuidad Diferenciabilidad Integración Convergencia dominada Criterio M  de Weierstrass Series de potencias Radio de convergencia $latex ...

Tarea 16, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 29 de noviembre Problema 1 Sean f,g continuas en [a,b] tales que baf=bag. Muestra que existe c[a,b] tal que f(c)=g(c). Problema 2 Sea ϕ:[a,b][c,d] diferenciable, inyectiva y creciente, tal que ϕ(a)=c y ϕ(b)=d. Si f es integrable en [c,d], entonces (fϕ)ϕ es integrable en [a,b]dcf(x)dx=baf(ϕ(t))ϕ(t)dt. Problema 3 Sean f,g integrables en [a,b]. Muestra que (bafg)2baf2bag2. Muestra que (ba(f+g)2)1/2(baf2)1/2+(bag2)1/2 Problema 4 Sea f periódica en R, con periodo T, e integrable en [0,T]. Entonces, para cualquier $latex a...

Tarea 15, Introducción al análisis

Fecha de entrega: 22 de noviembre Problema 1 Sean f,g diferenciables en [a,b] tales que f,g son integrables. Muestra que fg,fg son integrables y fg=f(b)g(b)f(a)g(a)gf. Problema 2 Sea f integrable en [a,b] tal que 1/f es acotada. Muestra que 1/f es integrable en [a,b]. Problema 3 Sea f continua en [0,1] y, para cada n, define en [0,1] la función gn(x)=f(xn). Muestra que gnf(0). Problema 4 Muestra que 13210x21+x2dx13. Problema 5 Sea f continua en [a,b] y M su valor absoluto máximo. Muestra que (|f|n)1/nM.

Tarea 14: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 15 de noviembre Problema 1 Muestra de manera directa que, si f es continua en [a,b], entonces L(f)=U(f). Problema 2 Muestra que, si f es acotada y continua en [a,b] excepto en un punto x0[a,b], entonces L(f)=U(f). Problema 3 Considera la función f(x)=x en [a,b]. Muestra que, para cualquier partición PL(f,P)b2a22U(f,P). Concluye que f=b2a22. Problema 4 Sea f integrable en [0,1]. Muestra que 1nnk=1f(kn)f. Problema 5 Sea f integrable en [a,a]. Si f es impar, muestra que aaf=0. Si f es par, muestra que aaf=2a0f.

Tarea 13: Introducción al análisis

Fecha de entrega: 8 de noviembre Problema 1 Calcula la serie de Fourier de la función de periodo 2π definida en [π,π] como F(x)=x,x(π,π), F(±π)=0. Averiguar si la serie converge en cada x. ¿Converge uniformemente? Problema 2 Calcula la serie de Fourier de la función de periodo 2π dada por F(x)=x(x+π),x[π,0], y F(x)=x(πx),x[0,π]. De igual forma, discute la convergencia de la serie. También discute la convergencia de sus derivadas. Problema 3 Muestra las siguientes identidades, para k,nZ+. ππcoskxcosnxdx={πk=n0kn ππsinkxsinnxdx={πk=n0kn ππcoskxsinnxdx=0 Problema 4 Considera la función $latex f(x) = \sin...