Ricardo A. Sáenz

El segundo examen parcial es este viernes, y aquí tienen una guía del material cubierto que puede ayudarles a prepararse. Completitud de los reales Equivalencias entre los enunciados de completitud Principio de intervalos encajados Axioma del supremo Teorema de Bolzano-Weierstrass Criterio de convergencia de Cauchy Convergencia de series absolutamente convergentes Series Convergencia y criterio de Cauchy Convergencia absoluta Criterios de convergencia por comparación Criterios del cociente y la raíz Criterio de condensación de Cauchy; criterio p Criterio de la integral Convergencia condicional Series alternantes Truco de Abel Criterio de Dirichlet Reordenamientos Teorema de Riemann Series hipergeométricas Criterio de Gauss Series de funciones Convergencia uniforme Criterio de Cauchy Continuidad Diferenciabilidad Integración Convergencia dominada Criterio M  de Weierstrass Series de potencias Radio de convergencia $latex ...

Fecha de entrega: 29 de noviembre Problema 1 Sean $latex f, g$ continuas en $latex [a,b]$ tales que $latex \displaystyle \int_a^b f = \int_a^b g$. Muestra que existe $latex c\in[a,b]$ tal que $latex f(c) = g(c)$. Problema 2 Sea $latex \phi:[a,b]\to[c,d]$ diferenciable, inyectiva y creciente, tal que $latex \phi(a) = c$ y $latex \phi(b) = d$. Si $latex f$ es integrable en $latex [c,d]$, entonces $latex (f\circ\phi)\phi'$ es integrable en $latex [a,b]$ y  $latex \displaystyle \int_c^d f(x) dx = \int_a^b f(\phi(t))\phi'(t) dt$. Problema 3 Sean $latex f,g$ integrables en $latex [a,b]$. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int_a^b fg \Big)^2 \le \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2$. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int_a^b (f+g)^2 \Big)^{1/2} \le \Big( \int_a^b f^2 \Big)^{1/2} + \Big( \int_a^b g^2 \Big)^{1/2}$ Problema 4 Sea $latex f$ periódica en $latex \mathbb R$, con periodo $latex T$, e integrable en $latex [0,T]$. Entonces, para cualquier $latex a...

Fecha de entrega: 22 de noviembre Problema 1 Sean $latex f, g$ diferenciables en $latex [a,b]$ tales que $latex f', g'$ son integrables. Muestra que $latex f'g, fg'$ son integrables y $latex \displaystyle \int f'g = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int g'f.$ Problema 2 Sea $latex f$ integrable en $latex [a,b]$ tal que $latex 1/f$ es acotada. Muestra que $latex 1/f$ es integrable en $latex [a,b]$. Problema 3 Sea $latex f$ continua en $latex [0,1]$ y, para cada $latex n$, define en $latex [0,1]$ la función $latex g_n(x) = f(x^n)$. Muestra que $latex \displaystyle \int g_n \to f(0).$ Problema 4 Muestra que $latex \displaystyle \frac{1}{3\sqrt 2} \le \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx \le \frac{1}{3}$. Problema 5 Sea $latex f$ continua en $latex [a,b]$ y $latex M$ su valor absoluto máximo. Muestra que $latex \displaystyle \Big( \int |f|^n \Big)^{1/n} \to M$.

Fecha de entrega: 15 de noviembre Problema 1 Muestra de manera directa que, si $latex f$ es continua en $latex [a,b]$, entonces $latex L(f) = U(f)$. Problema 2 Muestra que, si $latex f$ es acotada y continua en $latex [a,b]$ excepto en un punto $latex x_0\in[a,b]$, entonces $latex L(f) = U(f)$. Problema 3 Considera la función $latex f(x) = x$ en $latex [a,b]$. Muestra que, para cualquier partición $latex \mathcal P$,  $latex L(f,\mathcal P) \le \dfrac{b^2-a^2}{2} \le U(f,\mathcal P)$. Concluye que $latex \displaystyle \int f = \frac{b^2-a^2}{2}$. Problema 4 Sea $latex f$ integrable en $latex [0,1]$. Muestra que $latex \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\Big(\frac{k}{n}\Big) \to \int f.$ Problema 5 Sea $latex f$ integrable en $latex [-a,a]$. Si $latex f$ es impar, muestra que $latex \displaystyle  \int_{-a}^a f = 0$. Si $latex f$ es par, muestra que $latex \displaystyle  \int_{-a}^a f = 2\int_0^a f$.

Fecha de entrega: 8 de noviembre Problema 1 Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ definida en $latex [-\pi,\pi]$ como $latex F(x) = x, x\in(-\pi, \pi)$, $latex F(\pm\pi)=0$. Averiguar si la serie converge en cada $latex x$. ¿Converge uniformemente? Problema 2 Calcula la serie de Fourier de la función de periodo $latex 2\pi$ dada por $latex F(x) = x(x+\pi), x\in[-\pi,0]$, y $latex F(x) = x(\pi-x), x\in[0,\pi]$. De igual forma, discute la convergencia de la serie. También discute la convergencia de sus derivadas. Problema 3 Muestra las siguientes identidades, para $latex k,n\in\mathbb Z_+$. $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \cos n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$ $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin k x \sin n x dx = \begin{cases} \pi & k=n\\0 & k\not=n\end{cases}$ $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \cos k x \sin n x dx = 0$ Problema 4 Considera la función $latex f(x) = \sin...