Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 2 de junio Problema 1 Verifica que cada una de las siguientes transformaciones es autoadjunta, y encuentra una base ortonormal de eigenvectores. $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2\\ -2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & i & 0\\ -i & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to\mathscr P_2$ dada por $latex \displaystyle Tp(x) = \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (15x^2 y^2 - 6xy - 3) p(y) dy$ Problema 2 Clasifica las siguientes formas cuadráticas de acuerdo a su positividad $latex Q(x) = x_1 x_2$ en $latex \R^2$ $latex Q(x) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2$ en $latex \R^2$ $latex Q(p) = p(0)^2 + 2 p(1)^2 + p(2)^2$ en $latex \mathscr P_2$ Problema 3 Identifica la curva en el plano descrita por cada una de las siguientes ecuaciones. $latex x^2 + xy + y^2 ...

Fecha de entrega: 26 de mayo Problema 1 Considera las siguientes transformaciones lineales $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 4 & -5 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^4 \to \C^4$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p(1)x^2 + p'(x)x + p''(x) + p(0)$ Para cada una de ellas: calcula el determinante; calcula el polinomio característico; verifica que el coeficiente libre de su polinomio característico es $latex \pm 1$ veces su determinante; calcula sus eigenvalores; y encuentra una base tal que la matriz con respecto a ella es triangular. Problema 2 Sea  V un espa...

Fecha de entrega: 19 de mayo Problema 1 Calcula el polinomio mínimo de las siguientes transformaciones lineales. Utilízalo para calcular los eigenvalores de cada una. $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 3 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = (x-1)^2 p''(x)+2p(x)$ Problema 2 Da un ejemplo de una transformación lineal $latex T:\C^3\to\C^3$ cuyo polinomio mínimo sea $latex p_m(x) = x^2$. Da un ejemplo de una transformación lineal $latex T:\C^4\to\C^4$ cuyo polinomio mínimo sea $latex p_m(x) = x(x-1)^2$. Problema 3 Sean $latex T:V\to V$ lineal y $latex v\in V$. Sea $latex p(...

Fecha de entrega: 12 de mayo Problema 1 Calcula los eigenvalores y eigenvectores de las siguientes transformaciones lineales. Indica en cada caso si los eigenvectores forman una base. $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por las siguientes matrices: $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ $latex T:\C^3 \to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix}4&-3&1\\1&0&1\\0&0&3\end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr M_{2,2}\to\mathscr M_{2,2}$ dada por $latex T(A) = A^H$ $latex T:\mathscr P_2 \to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p''(x) + p'(x) + p(x) + p(0)$ Problema 2 Sea $latex P:V\to V$ una transformación  idempotente : o sea, $latex P^2 = P$. ¿Cuáles son los posibles eigenvalores...

Fecha de entrega: 5 de mayo Problema 1 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix}1& 2&2&4\\2 & 4 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & -4 & 2\end{pmatrix}$. Encuentra el rango de  A . Encuentra la dimensión de $latex \ker A^H$. Explica si los vectores $latex \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ forman una base para $latex (\ker A^H)^\perp$. Problema 2 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1 & -2i & 3 + i\\ 2 & 3 & -1 + i \\ 4 & i & 3-5i\end{pmatrix}$. Encuentra $latex \rho(A)$. Encuentra las dimensiones de $latex \ker A^H, (\ker A^H)^\perp$. Calcula la matriz de Gram $latex A^H A$, y calcula su rango. Problema 3 Calcula la matriz de Gram  G  para la base estándar $latex \{1, x, x^2\}$ de $latex \mathscr P_2$ con respecto a cada uno de los siguientes productos internos. $latex \langle p, q \rangle = \int_0^1 pq$ $latex \langle p, q \rangle = ...