Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Hemos visto en clase que, si $latex \sum a_k$ y $latex \sum b_k$ convergen, entonces la serie $latex \sum(a_k+b_k)$ converge. Sin embargo, es posible que $latex \sum(a_k+b_k)$ converja mientras que $latex \sum a_k$ y $latex \sum b_k$ no lo hacen. Discute si es posible que una serie trigonométrica $latex \displaystyle a_0 + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sen kx)$ converja, y que las series de cosenos y senos $latex \displaystyle a_0 +  \sum_{k=1}^\infty a_k \cos kx, \qquad \sum_{k=1}^\infty b_k \sen kx$ no lo hagan. Problema 2 Sean $latex f,g$ funciones uniformemente continuas. Indica si $latex f+g$ y $latex fg$ son uniformemente continuas. En tal caso, demuéstralo, o, si no, da un contraejemplo. Problema 3 Sea $latex f:(a,b)\to\R$ uniformemente continua. Demuestra que tiene límites en  a y en  b . Problema 4 Encuentra un valor de $latex \zeta$ para el cual $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} t \sen t dt = 2\pi \int_\zeta^{2\pi} \sen t ...

Fecha de entrega: 28 de octubre Problema 1 Indica si las siguientes series son convergentes en cada punto o uniformemente convergentes en el conjunto A  dado. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty n^2x^2e^{-n^2|x|}, \qquad A=\R$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{\sqrt k}(x^k + x^{-k}),\qquad A=[1/2,2]$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{\log(1+kx)}{kx^k}, \qquad A=[2,\infty)$ Problema 2 Sea $latex \sum a_kx^k$ una serie de potencias con radio de convergencia  R . Muestra que, si la serie de derivadas $latex \sum ka_kx^{k-1}$ converge en $latex x=R$, entonces la serie converge en $latex x=R$. Problema 3 Termina la demostración del teorema visto en clase:  Si $latex \sum f_k$ converge uniformemente en $latex (a,b)$ y las funciones $latex f_k$ son continuas en $latex [a,b]$, entonces la serie converge uniformemente en $latex [a,b]$. Problema 4 Muestra que $latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen kx}{\log k}$ es discontinua en $latex x=0$ mostrando...

Fecha de entrega: 21 de octubre Problema 1 Considera las sumas parciales $latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^2}{(1 + kx^2)(1+(k-1)x^2)}$. Calcula $latex S_n(x)$ para $latex x=1/10, 1/100, 1/1000$. Averigua cuántos términos debes sumar para que $latex S_n(x)$ se encuentre a menos de $latex \e=0{.}01$ de $latex S(x)=1$. Repite los incisos anteriores para las sumas (con $latex S(x)=0$) $latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x+x^3(k-k^2)}{(1+k^2x^2)(1+(k-1)^2x^2)}$. Problema 2 Considera la serie de seno $latex \displaystyle \sen x = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}.$ Muestra que la serie converge uniformemente en el intervalo $latex [-\pi,\pi]$. Indica cuántos términos de la serie hay que sumar para estar a $latex \e=1/2, 1/10, 1/100$ del límite en este intervalo. Repite los incisos anteriores para el intervalo $latex [-2\pi, 2\pi]$. ¿La serie converge uniformemente para todo $latex \R$? Problema 3 Da un ejemplo de una serie...

Fecha de entrega: 14 de octubre Problema 1 Considera las sumas parciales de la serie de Fourier, $latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\cos\frac{(2k-1)\pi x}{2}.$ Grafica los valores de $latex S_n(x)$ para $latex 1\le n\le 200$, con $latex x=1/2, 2/3, 9/10, 99/100.$ Dado $latex \e=0{.}1$, calcula el  N necesario para garantizar que $latex |S_n(x) - S_m(x)|<\e$ para cada uno de los  x del inciso anterior. Repite el inciso anterior con $latex \e=0{.}001$. Problema 2 Demuestra que la serie $latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen (k/100)}{\log k}$ converge. Problema 3 Evalúa la serie $latex 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \ldots$ en dos formas distintas: primero, como serie geométrica de cociente $latex -1/3$; segundo, agrupando cada término positivo con el siguiente negativo. Problema 4 Evalúa la serie $latex 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{128} - \...

Fecha de entrega: 7 de octubre Problema 1 Considera una serie $latex \sum a_n$ de términos distintos a cero. Sean $latex \alpha>0, N$ tales que, si $latex n\ge N$, entonces $latex |a_{n+1}/a_n|\le \alpha.$ Muestra que, para todo $latex \e>0$, existe  M tal que, si $latex n\ge M$, entonces $latex \sqrt[n]{|a_n|}<\alpha + \e$. Muestra que no necesariamente tenemos que $latex \sqrt[n]{|a_n|}\le \alpha$ para $latex n\ge N$. Muestra que, si el criterio del conciente nos dice que una serie converge absolutamente, entonces el criterio de la raíz también nos dirá lo mismo. Muestra que, si existen $latex \beta>0, N$ tales que $latex |a_{n+1}/a_n|\ge\beta$ para $latex n\ge N$, entonces para cada $latex \e>0$ existe  M tal que $latex \sqrt[n]{|a_n|}>\beta-\e$ para $latex n\ge M$. Muestra que, si $latex |a_{n+1}/a_n|$ converge, entonces $latex \sqrt[n]{|a_n|}$ converge y $latex \lim\sqrt[n]{|a_n|} = \lim\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|.$ Problema 2 Sea $latex \log_2 x =...