Ricardo A. Sáenz

Esta semana no asignaré tarea, pero aquí les va una guía de lo que hemos visto en la clase que les puede ayudar para prepararse para el examen del viernes. Conceptos Entender bien estos conceptos y las relaciones entre ellos. Sucesión Serie Sumas parciales Convergencia Límite de una sucesión de una serie de una función en un punto de una función en infinito límite infinito Diferenciabilidad Continuidad Números reales Comprender su uso en las demostraciones. Propiedad arquimidiana: "no hay infinitesimales" Completitud: equivalencia de principio de intervalos encajados todo conjunto acotado tiene supremo toda sucesión de Cauchy converge Teoremas El enunciado de ellos, además de sus demostraciones. También hay que saber cómo usarlos para resolver problemas (ver ejemplos vistos en clase y problemas de tarea). Valor medio Residuo de Lagrange Residuo de Cauchy Valor medio de Cauchy Regla de l'Hôpital Máximo y ...

Fecha de entrega: 23 de septiembre Problema 1 Explica cuál es el problema con la siguiente aplicación de la regla de L'Hôpital. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2\sen(1/x)}{x} = \lim_{x\to0} \frac{2x\sen(1/x)-\cos(1/x)}{1}$ no existe. Problema 2 Utiliza la regla de L'Hôpital para mostrar que $latex \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x} = 0.$ Demuestra por inducción que $latex \displaystyle\frac{e^{-1/x^2}}{x^n} = 0$ para todo $latex n\in\N$. Problema 3 Utiliza la regla de L'Hôpital para calcular los siguientes límites, si existen. $latex \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\arctan\frac{x^2-1}{x^2+1}}{x-1}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty} x\Big(\Big(1 + \frac{1}{x}\Big)^x - e\Big)$ $latex \displaystyle \lim_{x\to5} (6-x)^{1/(x-5)}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to0^+} \Big(\frac{\sen x}{x}\Big)^{1/x}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to0^+} \Big(\frac{\sen x}{x}\Big)^{1/x^2}$ Problema 4 Muestra que $latex \dfrac{x}{e^x-1} + \dfrac{x}{2}$ es u...

Soluciones a problemas seleccionados de la Tarea 6 . Problema 2 5. El conjunto tiene como mínimo a 0 y como supremo el límite de la sucesión 0.1111..., o sea, 1/9. 6. Claramente el mínimo es 0, porque si  n es cuadrado entonces $latex \sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor = 0$. El supremo es 1. Para mostrarlo, consideremos $latex n = N^2-1$. Entonces $latex \sqrt n = N\Big(1 - \dfrac{1}{N^2}\Big)^{1/2} > N\Big(1 - \dfrac{1}{2N^2}\Big) = N - \dfrac{1}{2N}$, y por lo tanto $latex \sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor > N - \dfrac{1}{2N} - (N-1) = 1 - \dfrac{1}{2N}.$ Como  N es arbitrario, este número es tan cercano a 1 como se desee. 7. Como $latex (m-2n)^2\ge0$, tenemos que $m^2 + 4n^2 \ge 4mn$, y por lo tanto $latex \dfrac{m}{n} + \dfrac{4n}{m} = \dfrac{m^2 + 4n^2}{mn} \ge 4$, por lo que 4 es una cota mínima. Como tal número se alcanza con $latex m=2, n=1$, 4 es el ínfimo. Si $latex m=1$, entonces $latex \dfrac{m^2+4n^2}{mn} = \dfrac{1 + 4n^2}{n} > 4n$. Concluimos entonces que el conjun...

Fecha de entrega: 16 de septiembre Problema 1 Encuentra una función acotada $latex f:[0,1]\to\R$ que no toma su valor supremo o ínfimo. Encuentra una función diferenciable en 1 tal que $latex f'(1)=0$ y que no tenga un extremo en 1. Problema 2 Averigua si los siguientes conjuntos son acotados por debajo o por arriba, y encuentra el ínfimo y el supremo si es el caso: el intervalo (0,3) $latex \{1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots\}$ $latex \{1, 1+1/2, 1+1/2+1/4,1+1/2+1/4+1/8,\ldots\}$ $latex \{2/1, (2\cdot2)/(1\cdot3),(2\cdot 2\cdot 4)/(1\cdot 3\cdot 3), (2\cdot 2\cdot 4\cdot 4)/(1\cdot 3\cdot 3 \cdot 5),\ldots\}$ el conjunto de números entre 0 y 1 con expansión decimal consistente de solo los dígitos 0 y 1 $latex \{\sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor:n\in\N\}$ $latex \{m/n + 4n/m: m,n\in\Z_+\}$ $latex \{ mn/(4m^2+n^2): m,n\in\Z_+\}$ Problema 3 Muestra que el enunciado " todo conjunto no vacío acotado por arriba tiene un supremo " implica el principio de intervalos en...

Fecha de entrega: 9 de septiembre Problema 1 Para la función $latex f(x) = x^2\sen(1/x^2)$ vista en clase, los puntos $latex x_0$ y números positivos $latex \e$ dados, encuentra $latex \delta$ tal que si $latex 0<|x-x_0|<\delta$ entonces $latex \displaystyle \Big|\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} - f'(x_0)\Big| < \e.$ $latex x_0 = 1/\sqrt{2\pi}, \e = 0{.}1$ $latex x_0 = 1/\sqrt{2\pi}, \e = 0{.}01$ $latex x_0 = 1/\sqrt{200\pi}, \e = 0{.}01$ $latex x_0 = 1/\sqrt{200\pi}, \e = 0{.}001$ Problema 2 Encuentra otra función que sea diferenciable en $latex [0,1]$, pero cuya derivada no es acotada. Problema 3 Encuentra una función que no sea continua en $latex [0,1]$, pero que sí satisfaga la propiedad del valor intermedio en ese intervalo. Problema 4 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ continua. Muestra que existe $latex c\in[0,1]$ tal que $latex f(c) = c$. Problema 5 Muestra que la ecuación $latex (1-x)\cos x = \sen x$ tiene al menos una solución en $latex (0,1)$. Problema 6 Sea  f con...