Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 28 de febrero Problema 1 Evalúa $latex \displaystyle \int_\gamma y^2dx+x^2dy$ sobre las siguientes curvas de $latex (0,0)$ a $latex (2,4)$: la parábola $latex y=x^2$ el intervalo horizontal de $latex (0,0)$ a $latex (2,0)$ seguido por el intervalo vertical de $latex (2,0)$ a $latex (2,4)$ el intervalo vertical de $latex (0,0)$ a $latex (0,4)$ seguido por el intervalo horizontal de $latex (0,4)$ a $latex (2,4)$. Problema 2 Evalúa $latex \int_{\partial D} x^2dy$ tanto directamente como usando el teorema de Green, donde $latex D$ es el cuarto de disco visto en clase. Problema 3 Muestra que si $latex P$ y $latex Q$ son funciones con valores complejos continuas en la curva $latex \gamma$, entonces $latex \displaystyle F(w) = \int_\gamma \frac{Pdx}{z-w} + \int_\gamma \frac{Qdy}{z-w}, \qquad z =x+iy,$ es analítica en $latex w\in\C\setminus\gamma$. Además, expresa $latex F'(w)$ como una integral de línea sobre $latex \gamma$. Problema 4 Determina si las siguientes i...

Fecha de entrega: 21 de febrero Problema 1 Sea $latex a\in\C$, $latex a\not=0$, y $latex f$ una rama de $latex z^a$ en $latex \C\setminus(-\infty,0]$. Muestra que $latex f'(z)=af(z)/z$ (es decir, $latex f'(z)=az^{a-1}$, donde tomamos la rama de $latex z^{a-1}$ correspondiente a la de $latex z^a$, dividido entre $latex z$). Problema 2 Sea $latex g(z)$ una rama de $latex \cos^{-1}(z)$ definida en un dominio $latex D$. Encuentra $latex g'(z)$ e indica para qué ramas de $latex \cos^{-1}(z)$ tenemos la misma derivada. Problema 3 Calcula $latex \displaystyle \iint_D |f'(z)|^2dxdy,$ donde $latex f(z)=z^2$ y $latex D$ es el disco abierto unitario. Interpreta tu respuesta en términos de áreas. Problema 4 Muestra que las siguientes funciones son armónicas, y calcula su armónica conjugada. $latex x^2-y^2$ $latex \sinh x\sin y$ $latex e^{x^2-y^2}\cos 2xy$ $latex \tan^{-1}\dfrac{y}{x}$, $latex x>0$ Problema 5 Muestra que la ecuación de Laplace, en coordenadas polares, est...

Fecha de entrega: 14 de febrero Problema 1 Encuentra y dibuja en el plano los valores de $latex \log z$ paralos siguientes números complejos $latex z$: $latex 2$ $latex i$ $latex 1 + i$ $latex \dfrac{1+i\sqrt 3}{2}$ Problema 2 Dibuja la imagen bajo la función $latex w = \Log z$ de cada una de las siguientes figuras: el semiplano derecho $latex \Re z>0$ el semidisco $latex |z|<1, \Re z >0$ el anillo cortado $latex \sqrt e <|z|<e^2, z\not\in(-e^2,-\sqrt e)$ la recta vertical $latex x = e$ Problema 3 Encuentra y dibuja en el plano los siguientes números: $latex (1+i)^i$ $latex (-1)^{1+i}$ $latex 2^{-1/2}$ $latex (1+i\sqrt 3)^{1-i}$ Problema 4 Muestra que $latex (zw)^\alpha = z^\alpha w^\alpha$, donde en la derecha tomamos todos los posibles productos. Problema 5 Muestra que la función $latex \sqrt{z^2-1/z}$ puede ser definida continuamente afuera del círculo unitario. Dibuja las cortaduras de rama apropiadas, y describe su superficie de Riemann. Prob...

Fecha de entrega: 7 de febrero Problema 1 Dibuja bocetos de las siguientes curvas, así como de sus imágenes bajo las funciones $latex w = z^2$ y la rama principal de $latex w = \sqrt z$. $latex |z-1|=1$ $latex y=1$ $latex y = x+1$ $latex y=1/x, x\not=0$ Problema 2 Considera la función $latex w=z^3$. Describe lo más detalladamente posible su imagen (la imagen de rayos que salen del origen, del círculos, etc.) Realiza los cortes de rama necesarios para definir su inversa. Describe la construcción de la superficie de Riemann de $latex z^{1/3}$ Problema 3 Dibuja un boceto de las siguientes figuras y de sus imágenes bajo $latex w=e^z$. la banda vertical $latex 0 < \Re z < 1$ la banda hrizontal $latex 5\pi/3 < \Im z < 8\pi/3$ el disco $latex |z|\le \pi$

Aquí tienen las soluciones a los ejercicios 4 y 6 de la tarea 1. Ejercicio 4 $Latex |\arg z|\le \frac{\pi}{4}$.   $Latex 0<\arg{z-1-i}<\frac{\pi}{3}$.   $Latex |z|<\arg z$.   $Latex \log|z|=\arg z$. Ejercicio 6 Hemisferio interior $Latex Z\le0$.   Tapa polar $Latex 3/4\le Z\le1$.   Líneas de latitud $Latex X=\sqrt{1-Z^2}\cos{\theta}, Y=\sqrt{1-Z^2}\sin{\theta}$ para $Latex Z$ fijo (en este caso $Latex Z =\frac{1}{2}$) y $Latex 0\le\theta\le2\pi$. Líneas de longitud $Latex X=\sqrt{1-Z^2}\cos{\theta}, Y=\sqrt{1-Z^2}\sin{\theta}$ para $Latex \theta$ fijo (en este caso $Latex \theta =\frac{\pi}{4}$) y $Latex -1\le \theta \le 2\pi$.   Tapa esférica $Latex A\le X\le1$ con centro sobre el ecuador para $Latex A$ fijo. $Latex A=-1$ $Latex A=-\frac{3}{4}$   $Latex A=-\frac{1}{2}$   $Latex A=-\frac{1}{8}$   $Latex A=0$   $Latex A=\frac{1}{4}$   $Latex A=\frac{2}{3}$   $Latex A=1$