El examen extraordinario de Cálculo 1 será el día 7 de enero de 2014, a las 4:00pm. Hay que pagarlo el día 6.
Matemático
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Mostrando las entradas de 2013
Problema 1 Encuentra el punto $latex P$ que maximiza el área del rectángulo de la figura. Solución: Si las coordenadas del punto $latex P$ son $latex (x,y)$, entonces, por la ecuación de la recta, tenemos la relación $latex \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1,$ por lo que entonces tenemos $latex y = 3 - \dfrac{3}{4}x$. Así, el área del rectángulo está dada por $latex A(x) = x\bigg(3 - \dfrac{3}{4}x\bigg) = 3x - \dfrac{3}{4}x^2,$ con $latex 0 \le x\le 4$. Para maximizar $latex A(x)$, tomamos su derivada e igualamos a $latex 0$. Como $latex A'(x) = 3 - \dfrac{3}{2}x,$ tenemos que el punto crítico es $latex x=2$. Sabemos que $latex A(x)$ debe tomar su máximo en un extremo de $latex [0,4]$ o en un punto crítico. Como $latex A(0) = A(4) = 0$, el máximo lo toma en $latex x=2$. Para $latex x=2$ tenemos $latex y = 3 - \dfrac{3}{4}(2) = \dfrac{3}{2}$. Por lo tanto, las coordenadas de $latex P$ son $latex \bigg(2, \dfrac{3}{2}\bigg)$. Problema 2 Bosqueja la gráfica de la función $latex f(x) = \...
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Construyendo variedades simplécticas , por Miguel Angel Evangelista, Universidad Autónoma de Guerrero. Conferencia de la semana , jueves 22 de agosto, 1:00pm. Resumen: En esta ponencia hablaremos sobre conceptos de Geometría Simpléctica como lo son las 2-formas simplécticas, variedades simplécticas, fibrados simplécticos y cohomología de De Rham. A su vez, analizaremos un teorema de Thurston que nos dice cómo construir una estructura simpléctica al espacio total de un fibrado, donde el espacio base y la fibra son variedades simplécticas.
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Fecha de entrega: 25 de mayo Lista de problemas tomados de las notas del curso. Capítulo 11 1-5 Problema adicional Sea $latex f:U\to V$ el sistema de coordenadas en $latex \mathbb S^2$ dado por $latex f(\theta,\varphi) = (\cos\theta\sin\varphi, \sin\theta\sin\varphi,\cos\varphi)$ con $latex U=(0,2\pi)\times(0,\pi)$. Si $latex F:\mathbb S^2\to T\mathbb S^2$ es el campo vectorial dado por $latex F(x,y,z) = \begin{pmatrix} xz\\yz\\z^2-1\end{pmatrix}$, calcula explícitamente el campo vectorial $latex G$ en $latex U$ tal que $latex F(f(a)) =f_*(G(a))$.
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La geometría de rodar: mecánica no holonómica , por Gil Bor, CIMAT. Conferencia de la semana , viernes 10 de mayo, 2:00pm . Resumen: Al rodar una pelota a lo largo de una curva cerrada dibujada sobre una mesa encontramos un fenómeno curioso: la pelota regresa a su ubicación inicial pero su orientacion (típicamente) se ha cambiado. La modelación matemática de este fenómeno nos lleva a unos de los conceptos y herramientas centrales de la geometría moderna: grupos de Lie, transporte paralelo y distribuciones no integrables. El mismo modelo permite describir y estudiar un rango muy amplio de fenómenos, desde los más prácticos (cómo estacionar un doble semiremolque, en reversa) hasta los más abstractos (la realización del grupo de Lie excepcional G2 como el grupo de simetría de una distribucion de rango 2 en una 5 variedad).
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Fecha de entrega: 26 de abril Lista de problemas tomados de las notas del curso. Capítulo 9 1, 2, 3 Problemas adicionales Muestra que el cilindro $latex C = \{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2=1, 0\le z\le 1 \}$ es un $latex 2$-cubo. Calcula $latex \partial C$. Considera el $latex 2$-cubo dado por $latex C + D$, donde $latex D=\{(x,y,0):x^2+y^2\le 1\}$. Describe este $latex 2$-cubo y calcula su frontera.
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Fecha de entrega: 8 de febrero Lista de problemas tomados de Lovász, Pelikán y Vesztergombi, Discrete Mathematics: Elementary and Beyond , Springer. Capítulo 2 2.1.5, 2.1.9, 2.1.12, 2.2.2, 2.3.1, 2.5.2, 2.5.7, 2.5.8 Problema adicional Sean $latex A_1, \ldots, A_n$ conjuntos finitos. Muestra por inducción que $latex \displaystyle |A_1\cup\ldots\cup A_n| = \sum_{i=1}^n|A_i| - \sum_{1\le i<j\le n}|A_i\cap A_j| + \sum_{1\le i<j<k\le n}|A_i\cap A_j\cap A_k|$ $latex - \ldots - (-1)^n|A_1\cap\ldots A_n|.$ ( Sugerencia: Observa que $latex A_1\cup\ldots \cup A_{n+1} = (A_1\cup\ldots\cup A_n)\cup A_{n+1}$ y que $latex (A_1\cup\ldots\cup A_n)\cap A_{n+1} = (A_1\cap A_{n+1})\cup\ldots\cup(A_n\cap A_{n+1})$ es la unión de $latex n$ conjuntos.)
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Fecha de entrega: 8 de febrero Lista de problemas tomados de las notas del curso. Capítulo 1 19-21, 24 Capítulo 2 1, 2, 3, 4 Problemas adicionales Sean $latex A_1\supset A_2\supset\ldots$ compactos no vacíos en $latex \R^n$. Muestra que $latex \bigcap_i A_i \not=\emptyset.$ Muestra que el enunciado anterior es falso si los $latex A_i$ son solo cerrados. Muestra que, si $latex x\in\R^n$ y $latex E\subset\R^m$ es compacto, entonces $latex \{x\}\times E$ es compacto en $latex \R^{n+m}$. Muestra que si $latex E\subset\R^n$ y $latex F\subset\R^m$ son compactos, entonces $latex E\times F$ es compacto en $latex \R^{n+m}$. ( Sugerencia: Utiliza el problema anterior.)
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