Soluciones al examen 3, Cálculo 1

Problema 1

Encuentra el punto $latex P$ que maximiza el área del rectángulo de la figura.

Solución: Si las coordenadas del punto $latex P$ son $latex (x,y)$, entonces, por la ecuación de la recta, tenemos la relación

$latex \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1,$

por lo que entonces tenemos $latex y = 3 - \dfrac{3}{4}x$. Así, el área del rectángulo está dada por

$latex A(x) = x\bigg(3 - \dfrac{3}{4}x\bigg) = 3x - \dfrac{3}{4}x^2,$

con $latex 0 \le x\le 4$. Para maximizar $latex A(x)$, tomamos su derivada e igualamos a $latex 0$. Como

$latex A'(x) = 3 - \dfrac{3}{2}x,$

tenemos que el punto crítico es $latex x=2$. Sabemos que $latex A(x)$ debe tomar su máximo en un extremo de $latex [0,4]$ o en un punto crítico. Como $latex A(0) = A(4) = 0$, el máximo lo toma en $latex x=2$. Para $latex x=2$ tenemos

$latex y = 3 - \dfrac{3}{4}(2) = \dfrac{3}{2}$.

Por lo tanto, las coordenadas de $latex P$ son $latex \bigg(2, \dfrac{3}{2}\bigg)$.

Problema 2

Bosqueja la gráfica de la función

$latex f(x) = \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}},$

señalando claramente su dominio, sus puntos críticos, los intervalos donde es creciente o decreciente, su concavidad y sus puntos de inflexión, y sus asíntotas.

Solución: El dominio de $latex f$ está dado por el conjunto donde $latex x^2-1 > 0$, o sea $latex \mathbb R\setminus[-1, 1].$ Cuando $latex x\to \pm 1$, $latex f(x) \to \infty,$ por lo que la función tiene un par de asíntotas verticales en $latex x=-1$ y $latex x =1.$

La derivada de $latex f$ está dada por

$latex f'(x) = \dfrac{x^3 - 2x}{(x^2-1)^{3/2}},$

por lo que los intervalos donde la función es creciente o decreciente están dados por el signo del numerador

$latex x^3-2x = x(x+\sqrt 2)(x-\sqrt 2)$,

para $latex |x|>1$. Así, vemos que los puntos críticos son $latex x=-\sqrt 2$ y $latex x=\sqrt 2$, la función es creciente en $latex [-\sqrt 2, -1)$ y en $latex [\sqrt 2,\infty)$, y es decreciente en $latex (-\infty,-\sqrt 2]$ y en $latex (1,\sqrt 2]$.

La concavidad está dada por la segunda derivada de $latex f$, que es igual a

$latex f''(x) = \dfrac{x^2+2}{(x^2-1)^{5/2}}.$

Como $latex f''(x)>0$ para todo $latex x$, la gráfica de la función es cóncava hacia arriba. La figura de la derecha ofrece un bosquejo de la función.

Problema 3

Calcula las siguientes integrales.

1. $latex \displaystyle \int_0^3 (3x^2 - x^3) dx$

Solución: Por la linealidad de la integral tenemos

$latex \displaystyle \int_0^3 (3x^2 - x^3) dx = 3\int_0^3 x^2 dx - \int_0^3 x^3 dx = 3\cdot \frac{3^3}{3} - \frac{3^4}{4} = 27 - \frac{81}{4} = \frac{27}{4}.$

2. $latex \int_0^\pi \tan^2x dx$

Solución: La función $latex \tan$ no es acotada en $latex [0,\pi]$ (de hecho, ni siquiera está definida en $latex \pi/2$.) Por lo tanto, $latex \tan^2$ no es integrable en el intervalo.

3. $latex \displaystyle \int_0^1 \frac{2x+5}{(x+2)^2(x+3)^2} dx$

Solución: Observamos que $latex (x+2)(x+3) = x^2+5x+6$ y que su derivada es $latex 2x+5$, por lo que entonces

$latex \dfrac{2x+5}{(x+2)^2(x+3)^2} = \dfrac{2x+5}{(x^2+5x+6)^2} = -\dfrac{d}{dx}\bigg(\dfrac{1}{x^2+5x+6}\bigg),$

y por el teorema fundamental del cálculo,

$latex \displaystyle \int_0^1 \frac{2x+5}{(x+2)^2(x+3)^2} = \frac{-1}{x^2+5x+6}\bigg|_0^1 = -\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12}.$

4. $latex \displaystyle \int_0^\pi \sin(2x-\pi) dx$

Solución: Si definimos $latex \phi(x) = 2x-\pi$, entonces $latex \phi(0) = -\pi$, $latex \phi(\pi) = \pi$ y $latex \phi'(x) = 2$, por lo que el teorema de cambio de variable implica

$latex \displaystyle \int_0^\pi \sin(2x-\pi)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi \sin y dy = 0$.

Problema 4

Calcula el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región entre las curvas

$latex x=0$, $latex x=\dfrac{\pi}{4}$, $latex y=0$ y $latex y = \sec x.$

Solución: El volumen se obtiene al integrar las áreas de las secciones transversales del sólido, que consisten en círculos de radio $latex \sec x$ para $latex 0\le x \le \dfrac{\pi}{4}.$ Entonces el volumen está dado por

$latex \int_0^{\pi/4} \pi \sec^2 x dx = \pi \tan x\Big|_0^{\pi/4} = \pi,$

donde hemos usado el hecho que $latex \tan'(x) = \sec^2 x$ y el teorema fundamental del cálculo.