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Funciones semicontinuas y las métricas de Carathéodory y Kobayashi

Sea $latex D$ un espacio topológico (consideraremos $latex D\subset\mathbb R$ ó $latex D\subset\mathbb C$). Decimos que una función $latex f:D\to\mathbb R$ es semicontinua por abajo si para cada $latex a\in\mathbb R$ el conjunto $latex \{ x\in D: f(x) > a \}$ es abierto, y es semicontinua por arriba si $latex \{ x\in D: f(x) < a \}$ es abierto para cada  $latex a\in\mathbb R$. Diremos simplemente que $latex f$ es semicontinua si es semicontinua por abajo o semicontinua por arriba.

El objetivo de esta lista de problemas es estudiar la relación entre las funciones semicontinuas, las métricas de Carathéodory y Kobayashi y la distancia en $latex D$ inducida por ellas. Los resultados de estos problemas se asumirán como válidos en clase.



Problema 1. Muestra que $latex f:D\to\mathbb R$ es continua si, y sólo si, es semicontinua por abajo y por arriba.

Problema 2. Muestra que $latex f$ es semicontinua por abajo si, y sólo si, $latex -f$ es semicontinua por arriba.

Problema 3. Muestra que $latex \chi_A$, la función característica de $latex A\subset D$, es semicontinua por abajo si y sólo si $latex A$ es abierto, y semicontinua por arriba si y sólo si $latex A$ es cerrado.

Problema 4. Muestra que $latex f:D\to \mathbb R$ es semicontinua por abajo si y sólo si $latex \liminf_{z\to z_0} f(z) \ge f(z_0)$ para todo $latex z_0\in D$. Similarmente,  $latex f:D\to \mathbb R$ es semicontinua por arriba si y sólo si $latex \limsup_{z\to z_0} f(z) \le f(z_0)$ para todo $latex z_0\in D$.

Problema 5. Sean $latex f_n:D\to\mathbb R$ funciones continuas tales que, para cada $latex x\in D$, la suecesión $latex f_n(x)$ es creciente y converge a $latex f(x)$. Muestra que $latex f$ es semicontinua por abajo.

Problema 6. De manera inversa, muestra que, si $latex f:D\to\mathbb R$ es nonegativa y semicontinua por abajo, entonces existe una sucesión creciente de funciones continuas que converge punto por punto a $latex f$.

Problema 7. Muestra que si $latex f:[a,b]\to\mathbb R$ es acotada y semicontinua por abajo, entonces es Riemann-integrable.

Problema 8. Si $latex \gamma:[a,b] \to D$ es una curva y $latex f$ es semicontinua, muestra que $latex f\circ\gamma$ es semicontinua.

Problema 9. Muestra qua las métricas de Carathéodory y Kobayashi son funciones semicontinuas por abajo.

Concluye entonces que, para un dominio $latex \Omega$, la distancias $latex d_{\rho_C^\Omega}$ y $latex d_{\rho_K^\Omega}$ inducidas por las métricas de Carathéodory y Kobayashi están bien definidas.

Problema 10. Sean $latex \Omega_1, \Omega_2$ dominios y $latex \rho_1, \rho_2$ sus métricas, ya sea de Carathéodory o de Kobayashi. Muestra que, si $latex f:\Omega_1\to\Omega_2$ es holomorfa, entonces

$latex d_{\rho_2}(f(z), f(w)) \le d_{\rho_1}(z,w)$


para todo $latex z,w\in\Omega_1$.

Comentarios

  1. Agregué la hipótesis f nonegativa en el problema 6. No es estrictamente necesaria esta hipótesis, pero simplifica las cosas asumir que f es acotada por abajo.

    Como sugerencia para resolver este problema, utilicen el Lema de Uryson: si X es normal (por ejemplo, $latex \mathbb R$ ó $latex \mathbb C$) y K es compacto en X y U es abierto en X con $latex K\subset U$, entonces existe una función continua f en X tal que f es 1 en K y 0 fuera de U.

    Véase, por ejemplo, Folland, Real Analysis.

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  2. En el problema 4: el límite inferior y superior se toma para todo z_0 en D.

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  3. Sí, debería decir "para todo z_0 en D". Ya lo corregí.

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