Funciones semicontinuas y las métricas de Carathéodory y Kobayashi

Sea $D$ un espacio topológico (consideraremos $D\subset\mathbb R$ ó $D\subset\mathbb C$). Decimos que una función $f:D\to\mathbb R$ es semicontinua por abajo si para cada $a\in\mathbb R$ el conjunto $\{ x\in D: f(x) > a \}$ es abierto, y es semicontinua por arriba si $\{ x\in D: f(x) < a \}$ es abierto para cada  $a\in\mathbb R$. Diremos simplemente que $f$ es semicontinua si es semicontinua por abajo o semicontinua por arriba.

El objetivo de esta lista de problemas es estudiar la relación entre las funciones semicontinuas, las métricas de Carathéodory y Kobayashi y la distancia en $D$ inducida por ellas. Los resultados de estos problemas se asumirán como válidos en clase.



Problema 1. Muestra que $f:D\to\mathbb R$ es continua si, y sólo si, es semicontinua por abajo y por arriba.

Problema 2. Muestra que $f$ es semicontinua por abajo si, y sólo si, $-f$ es semicontinua por arriba.

Problema 3. Muestra que $\chi_A$, la función característica de $A\subset D$, es semicontinua por abajo si y sólo si $A$ es abierto, y semicontinua por arriba si y sólo si $A$ es cerrado.

Problema 4. Muestra que $f:D\to \mathbb R$ es semicontinua por abajo si y sólo si $\liminf_{z\to z_0} f(z) \ge f(z_0)$ para todo $z_0\in D$. Similarmente,  $f:D\to \mathbb R$ es semicontinua por arriba si y sólo si $\limsup_{z\to z_0} f(z) \le f(z_0)$ para todo $z_0\in D$.

Problema 5. Sean $f_n:D\to\mathbb R$ funciones continuas tales que, para cada $x\in D$, la suecesión $f_n(x)$ es creciente y converge a $f(x)$. Muestra que $f$ es semicontinua por abajo.

Problema 6. De manera inversa, muestra que, si $f:D\to\mathbb R$ es nonegativa y semicontinua por abajo, entonces existe una sucesión creciente de funciones continuas que converge punto por punto a $f$.

Problema 7. Muestra que si $f:[a,b]\to\mathbb R$ es acotada y semicontinua por abajo, entonces es Riemann-integrable.

Problema 8. Si $\gamma:[a,b] \to D$ es una curva y $f$ es semicontinua, muestra que $f\circ\gamma$ es semicontinua.

Problema 9. Muestra qua las métricas de Carathéodory y Kobayashi son funciones semicontinuas por abajo.

Concluye entonces que, para un dominio $\Omega$, la distancias $d_{\rho_C^\Omega}$ y $d_{\rho_K^\Omega}$ inducidas por las métricas de Carathéodory y Kobayashi están bien definidas.

Problema 10. Sean $\Omega_1, \Omega_2$ dominios y $\rho_1, \rho_2$ sus métricas, ya sea de Carathéodory o de Kobayashi. Muestra que, si $f:\Omega_1\to\Omega_2$ es holomorfa, entonces

$d_{\rho_2}(f(z), f(w)) \le d_{\rho_1}(z,w)$

para todo $z,w\in\Omega_1$.