Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 28 de abril Problema 1 Sea $latex U = \gen\Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}$. Para cada uno de los siguientes vectores  v , obtén la proyección ortogonal de  v sobre  U con dos métodos: primero, usando una base ortonormal de  U , y, segundo, usando la matrix de Gram asociada. $latex v = \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}4\\0\\1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$ Calcula, además, la matrix de la proyección con respecto a la base estándar. Problema 2 Sea  U el plano $latex x + y + z + w = 0$ en $latex \R^4$. Calcula la proyección ortogonal sobre  U de los siguientes vectores. $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$ Problema 3 Sea $latex f(x) = 1$, y considera el producto inter...

Fecha de entrega: 7 de abril Problema 1 Averigua si las siguientes funciones escalares son productos internos en el espacio vectorial indicado. En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 - 5x_1y_2 - 5x_2y_1 + 4x_2y_2$ En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 + 5x_1y_2 + 5x_2y_1 + x_2y_2$ En $latex \mathscr P_2$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ En $latex \mathscr P_3$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ Problema 2 Usa la ley de cosenos para mostrar que, si $latex x,y\in\R^2$, entonces $latex x\cdot y = |x| |y| \cos\theta$, donde $latex \theta$ es el ángulo entre  x y  y . Problema 3 Si  V es un espacio con producto interno real y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2\big)$. Problema 4 Si  V es un espacio con producto interno complejo y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2 + i||...

Fecha de entrega: 31 de marzo Problema 1 Verifica si las siguientes funciones $latex \phi:V\to K$ son funcionales en  V . $latex V = \R^2, \phi\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x+1)^2 + (y + 2)^2 - (x-2)^2 - (y-1)^2$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p'(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x p(x)^2 dx$ $latex V = \mathbf M, \phi(A) = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula explícitamente la base dual $latex \widehat{\mathscr B}$ de cada una de las siguientes bases para los espacios V  dados. $latex V = \R^3, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}$ $latex V = \mathscr P_2, \mathscr B = \{x, x^2-1, (x-1)^2\}$ $latex V = \mathbf M, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\...

Fecha de entrega: 24 de marzo Problema 1 Para cada una de las siguientes matrices  A , calcula la matriz  B de la transformación $latex x\mapsto Ax$ en $latex \R^3$ con respecto a la base, vista en clase, $latex \mathscr B = \Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}.$ $latex A = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}1&4&7\\-1&2&5\\-3&0&3\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula la integral indefinida $latex \displaystyle \int x^2 e^x dx$ utilizando la inversa de la matriz del operador $latex \dfrac{d}{dx}$ en el espacio $latex V = \gen\{x^2 e^x, x e^x, e^x\}$. Problema 3 Calcula la integral indefinida, para $latex n\in\N$, $latex \displaystyle \int x^n e^x dx$ como en el problema anterior. Problema 4 Considera la base $latex \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}, \begin...