Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Indica cuáles de los siguientes conjuntos, con la operación dada, es un grupo. Los números enteros con la operación resta. Los números racionales con la operación multiplicación. Los números reales positivos con la operación multiplicación. Problema 2 Construye la tabla del grupo multiplicativo $latex \Z^*_8$. ¿Es este grupo abeliano? ¿Es cíclico? Problema 3 Utiliza el teorema de Lagrange para demostrar que, si $latex |G|$ es primo, entonces $latex G$ es cíclico.

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Calcula la clase de congruencias de las siguientes potencias de enteros $latex 2^{82} \pmod 5$ $latex 3^{1502}\pmod{13}$ $latex 26^{1004}\pmod 7$ $latex 6^{654654654}\pmod{11}$ Problema 2 Para cada entero $latex a=1,2,3,4$, resuelve la congruencia $latex ax\equiv1\pmod 5$, o indica si no tiene solución. Repite el ejercicio para $latex a=1, 2, 3, 4, 5$ y $latex ax\equiv 1\pmod 6$. Problema 3 Resuelve las siguientes ecuaciones, si tienen solución. $latex 8x\equiv 4\pmod 6$ $latex 15x\equiv 6 \pmod{21}$

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros, usando el algoritmo de Euclides. 30 y 84 792 y 561 568 y 4292 227761 y 661643 Problema 2 Decide si las siguientes ecuaciones tienen solución con enteros $latex x$ y $latex y$ y, en tal caso, encuentra sus soluciones. $latex 25x + 40y = 345$ $latex 66x + 561y = 22$ $latex 3145x + 23001y = 4$ $latex 3145x + 23001y = -85$

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Muestra que si $latex 2^n-1$ es primo, entonces $latex n$ es primo. Problema 2 ¿La inversa del problema 1 es cierta? Si es cierto, demuéstralo. Si no, encuentra un contraejemplo. Problema 3 Verifica que los enteros de la forma $latex n^2-n+41$ son primos para $latex n=0,1,2,3,\ldots,40$. ¿Existe algún polinomio cuadrático $latex an^2+bn+c$, con $latex a,b,c\in\Z$, tal que su valor es un primo para todo $latex n\in\N$?