Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+x^2}$ es diferenciable en todo $latex x$. Problema 2 Sean $latex s_1, s_2, s_3, \ldots$ funciones acotadas tales que convergen a $latex F$. ¿Podemos concluir que $latex F$ es acotada? Si $latex s_n$ converge uniformemente a $latex F$, ¿podemos concluir que $latex F$ es acotada? Problema 3 Determina si las siguientes series convergen uniformemente en el conjunto dado. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^2 x^2 e^{-n^2|x|}$ en $latex \mathbb R$. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^n \sin\frac{1}{3^nx}$ en $latex (0,\infty)$. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{\pi}{2}-\arctan(n^2(1+x^2))\Big)$ en $latex \mathbb R$. Problema 4 Encuentra un ejemplo de una serie de potencias $latex \sum a_n x^n$ que converge en $latex x=R$ tal que la serie de derivadas $latex \sum na_nx^{n-1}$ no converge en $latex x = R$. Utiliza el e...

Fecha de entrega: 25 de octubre Problema 1 Considera la serie $latex \displaystyle 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \ldots = \frac{\pi}{4}$.  Muestra que la serie de términos positivos $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} + \ldots$ diverge. Considera el reordenamiento $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} - \frac{1}{7} + \ldots = s$. Utiliza los primeros mil términos del agrupamiento $latex \displaystyle \Big(1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{3}\Big) + \Big(\frac{1}{9} + \frac{1}{13} - \frac{1}{7}\Big) + \ldots$ para encontrar una cota inferior para el límite $latex s$ de la serie. Utiliza los primeros mil términos del agrupamiento $latex \displaystyle 1 + \frac{1}{5} - \Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{13}\Big) - \Big(\frac{1}{7} - \frac{1}{17} - \frac{1}{21}\Big) - \ldots$ para encontrar una cota superior para el límite $latex s$ de la ser...

La demostración del criterio de Gauss, para la convergencia de series hipergeométricas, visto en clase la encuentran en la página de recursos del texto:  Resources for A Radical Approach to Real Analysis

Fecha de entrega: 18 de octubre Problema 1 Encuentra el conjunto donde las siguientes series de funciones convergen. $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{2+(-1)^n}{5+(-1)^{n+1}}\Big)^n x^n$ $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^{n^2}x^{n!}$ $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}\Big(\frac{2x+1}{x}\Big)^n$ $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sqrt n (\tan x)^n$ Problema 2 Encuentra el radio de convergencia de la serie $latex \sum a_nx^n$ en cada uno de los siguientes casos. Existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n n^\alpha| \to L$. Existen $latex \alpha, L>0$ tales que $latex |a_n \alpha^n| \to L$. Existe $latex L>0$ tal que $latex |a_n n!| \to L$. Problema 3 Sea $latex a_n$ una sucesión de números positivos. Muestra que $latex \displaystyle \liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \liminf \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Problema 4 Explica por qué la serie $la...

Aquí les va una guía de lo que hemos visto en la clase que les puede ayudar para prepararse para el examen de mañana. Conceptos Entender bien estos conceptos y las relaciones entre ellos. Sucesión Serie Sumas parciales Convergencia Límite de una sucesión de una serie de una función en un punto de una función en infinito límite infinito Diferenciabilidad Continuidad Números reales Comprender su uso en las demostraciones. Propiedad arquimidiana: "no hay infinitesimales" Completitud:  principio de intervalos encajados todo conjunto acotado tiene supremo teorema de Bolzano-Weierstrass Teoremas El enunciado de ellos, además de sus demostraciones. También hay que saber cómo usarlos para resolver problemas (ver ejemplos vistos en clase y problemas de tarea). Valor medio Residuo de Lagrange Residuo de Cauchy Valor medio de Cauchy Regla de l'Hôpital Máximo y mínimo de una función continua Fermat: derivada cero en extremos  Valor...

Fecha de entrega: 11 de octubre Problema 1 Encuentra una serie divergente tal que los valores del primer millón de las sumas parciales $latex s_1, s_2, \ldots, s_{1,000,000}$ coinciden en los primeros 10 dígitos significativos. Problema 2 Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass para mostrar que toda sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente. Si $latex x_n$ es una sucesión de Cauchy y $latex x_{n_k}$ es una subsucesión tal que $latex x_{n_k}\to L$, muestra que $latex x_n\to L$. Concluye que el teorema de Bolzano-Weierstrass es equivalente a las versiones del axioma de completitud vistas en clase. Problema 3 Es sabido que los números de Bernoulli satisfacen la estimación $latex B_{2k} \sim (-1)^{k-1}\dfrac{2(2k)!}{(2\pi)^{2k}}$ (ver, por ejemplo, [ Weisstein , (41)]). Utiliza la estimación anterior para mostrar que la serie $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k-1)(2k)n^{2k-1}}$ vista en clase diverge para todo $latex n$. Pr...