Tarea 3: Introducción al análisis

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Fecha de entrega: 30 de agosto

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Problema 1

1. Demuestra, integrando por partes, la identidad de Bernoulli
   
   $latex \displaystyle \int_0^x f(t)dt = xf(x) - \frac{x^2}{2!}f'(x) + \frac{x^3}{3!}f''(x) - \frac{x^4}{4!}f'''(x) + \ldots$.
2. Demuestra que la identidad anterior se sigue de la serie de Taylor. (Sugerencia: Muestra primero que
   
   $latex \displaystyle f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0) = f^{(n+1)}(0)x + \frac{f^{(n+2)}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(n+3)}(0)}{3!}x^3 + \ldots$.)

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Problema 2

1. Encuentra el residuo de Lagrange para la serie binomial
   
   $latex \displaystyle (1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \ldots$.
2. Simplifica el residuo para el caso $latex a=-1$ ¿Qué ocurre si $latex x=1$? ¿El residuo converge a 0 cuando $latex n\to\infty$?

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Problema 3

Indica cuál es el problema con el siguiente argumento: si $latex D_n(0,x)$ es el residuo de la serie geométrica

$latex \displaystyle \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x̣^3 + \ldots + (-1)^{n-1}x^{n-1} + D_n(0,x)$,

entonces $latex D_n(0,x) = (-1)^n \dfrac{x^n}{(1+c)^{n+1}}$ para algún $latex c$ entre $latex 0$ y $latex x$. Entonces, si $latex x=1$, $latex 0<c<1$, por lo que $latex 1+c>1$ y 

$latex |D_n(0,x)| = \dfrac{1}{(1+c)^{n+1}}\to 0$,

por lo que la serie converge para $latex x=1$.

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Problema 4

1. Reescribe la serie
   
   $latex 1 - x^2 + x^5 - x^7 + x^{10} - x^{12} + \ldots$
   como una función racional de $latex x$. Si hacemos $latex x=1$, ¿qué valor nos da para
   
   $latex 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$?
2. Encuentra una serie de potencias de $latex x$ tal que nos da el valor
   
   $latex 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \dfrac{4}{7}$
   cuando hacemos $latex x = 1$.

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Problema 5

Dados cualesquiera enteros $latex m,n$, distintos de cero, encuentra una serie de potencias de $latex x$ que nos de el valor

$latex 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \dfrac{m}{n}$.

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