Tarea 2: Introducción al análisis

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Fecha de entrega: 23 de agosto

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Problema 1

Utiliza la expansión de Leibniz para mostrar que

$latex \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1}{1\cdot 3} + \dfrac{1}{5\cdot 7} + \dfrac{1}{9\cdot 11} + \ldots$.

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Problema 2

Demuestra la identidad de Machin

$latex \dfrac{\pi}{4} = 4\arctan\dfrac{1}{5} - \arctan\dfrac{1}{239}$.

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Problema 3

Demuestra la identidad

$latex \displaystyle \int_0^1 (1 - x^{1/p})^q dx = \frac{q}{p+q} \int_0^1 (1 - x^{1/p})^{q-1}dx$.

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Problema 4

En 1668, James Gregory encontró una mejor serie (es decir, que converge más rápido) para el logaritmo. 

1. Muestra que
   
   $latex \log\Big(\dfrac{1+y}{1-y}\Big) = 2\Big( y + \dfrac{y^3}{3} + \dfrac{y^5}{5} + \ldots\Big)$.
2. Utiliza la serie anterior para concluir
   
   $latex \log(1 + x) = 2 \Big( \dfrac{x}{x+2} + \dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{x}{x+2}\Big)^3 + \ldots \Big)$.
3. ¿Para qué $latex x$ converge esta serie?
4. ¿Cuántos términos necesitamos sumar para aproximar $latex \log 5$ con 5 cifras significativas?

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Problema 5

1. Encuentra una función explícita $latex \omega(n)$, en términos de $latex \log n$, tal que
   
   $latex \displaystyle\lim_{n\to\infty} \Big( 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{2n+1} - \omega(n) \Big) = 0$.
2. Considera el reordenamiento de la serie armónica alternante donde sumamos alternadamente $latex r$ términos positivos (recíprocos impares) y $latex s$ términos negativos (recíprocos pares), de tal manera que las sumas parciales satisfacen
   
   $latex \displaystyle s_{n(r+s)} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{2nr-1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \ldots - \frac{1}{2ns}$.
   Usa el primer inciso para calcular el límite de la serie.