Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 3 de marzo Problema 1 Indica si las siguientes transformaciones lineales son inyectivas y/o sobreyectivas. Calcula su espacio nulo. $latex T:\R^4\to\R^4$ dada por $latex T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&2&1\\1&0&1&2\\1&2&3&0\\1&-1&0&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$ $latex T:\mathbb K^\infty \to \mathbb K^\infty$ dada por $latex T(a_1,a_2,a_3,\ldots) = (a_2, a_3,\ldots)$ $latex T:\mathcal M_{2,2}\to \mathcal M_{2,2}$ dada por $latex TA = A + A^t$, donde $latex A^t$ es la transpuesta de $latex A$ $latex T:\mathbf M\to\R^3$ dada por $latex T\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}$, donde  M es el espacio de cuadrados mágicos. Problema 2 Sea $latex T:V\to W$ una transformación lineal. Si  T es inyectiva y $latex v_...

Fecha de entrega: 24 de febrero Problema 1 Indica si los siguientes subconjuntos son bases de los espacios vectoriales dados: $latex \{(1+x)^2, (2 + x)^2, (3+x)^2 \} \subset \mathscr P_2$ $latex \left\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix} \right\}\subset \R^4$ $latex \left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \right\} \subset \mathcal M_{2\times2}$ Problema 2 Sea  V un espacio de dimensión finita y  U un subespacio tal que $latex \dim U = \dim V$. Muestra que $latex U=V$. Problema 3 Calcula una base para cada uno de los siguientes subespacios vectoriales. $latex \left\{ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \in \R^3 : x_1 + x_2 - x_3 = 0 \right\}$ en $latex \R^3$ $latex \{ p(x)\in\mathscr P_3: p(2)=0\}$ ...

Fecha de entrega: 17 de febrero Problema 1 Averigua si los siguientes vectores se encuentran en el espacio generado dado: $latex x^2+1$ en $latex \gen\{ 1, x-2, (x-2)^2\}\subset\mathscr P$ $latex \begin{pmatrix}-1\\-4\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$ $latex \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$ $latex \sen^2x$ en $latex \gen\{1, \cos x, \cos 2x, \cos 3x, \cos 4x,\ldots\}\subset C$ Problema 2 Muestra que, si los vectores $latex v_1, v_2, \ldots, v_k$ generan el espacio  V , entonces también lo hacen los vectores $latex v_1 - v_2, v_2 - v_3, \ldots, v_{k-1} - v_k, v_k$. Problema 3 Averigua si los siguientes vectores son linealmente independientes: $latex \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{...

Fecha de entrega: 10 de febrero Problema 1 Indica cuáles de los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial sobre el campo dado, con las operaciones descritas Los números reales $latex \R$ sobre $latex \Q$, con suma y multiplicación usuales El conjunto de las funciones discontinuas en 0 en $latex \R$, sobre $latex \R$, con suma de funciones y multiplicación escalar usuales El conjunto $latex \R_+$ de números positivos, sobre $latex \R$, con suma $latex x\oplus y = xy$ y multiplicación escalar $latex \alpha x = x^\alpha$ El conjunto  V de parejas $latex (x,y)$ de números reales, sobre $latex \R$, con suma $latex (x,y)\oplus(u,v) = (x + u, y + v)$ y multiplicación escalar $latex \alpha(x,y) = (\alpha x, 2\alpha y)$ Problema 2 Demuestra las siguientes propiedades de un espacio vectorial  V sobre el campo $latex \mathbb K$ Para todo $latex \alpha\in\mathbb K$, $latex \alpha\cdot 0 = 0$ El negativo $latex -v$ de cada $latex v\in V$ es único Para cada $latex u, v\...