Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 27 de marzo Problema 1 Sean $a < b\in\R$. Muestra que existe $f\in C^\infty(\R)$ tal que $f > 0$ en $(a,b)$ y $f(x) = 0$ para $x\notin(a,b)$. Sean $a < b\in\R$. Muestra que existe $f\in C^\infty(\R)$ tal que $0\le f\le 1$, $f(x)=0$ para $x\le a$ y $f(x)=1$ para $x\ge b$. Sean $R>r>0$. Muestra que existe $f\in C^\infty(\R^n)$ tal que $f=1$ en $B_r(0)$ y $\supp f = B_R(0)$. Problema 2 Sean $C,E\subset\R^n$ tales que $C$ es compacto, $E$ es cerrado y $C\cap E = \emptyset$. Muestra que existe un conjunto compacto $D\subset\R^n$ tal que $C\subset D^0$ y $D \cap E = \emptyset$. Problema 3 Sean $C,E\subset\R^n$ tales que $C$ es compacto, $E$ es cerrado y $C\cap E = \emptyset$. Muestra que existe $f\in C^\infty(\R^n)$ tal que $f = 1$ en $C$ y $f = 0$ en $latex ...

Fecha de entrega: 20 de marzo Problema 1 Sea $f:R\to\R$ y $\mathcal P$ una partición de $R$. Muestra que $f$ es Riemann-integrable si y solo si $f|_S$ es Riemann-integrable para cada $S\in\mathcal P$, y en tal caso $\displaystyle \int_R f = \sum_{S\in\mathcal P} \int_S f|_S.$ Problema 2 Muestra que un conjunto no acotado no puede ser de contenido 0. Da un ejemplo de un conjunto cerrado de medida 0 que no sea de contenido 0. Si $C$ es de contenido 0, muestra que $\fr C$ es de contenido 0. Sin embargo, da un ejemplo de un conjunto de medida 0 cuya frontera no sea de medida 0. Problema 3 Sea $f:R\to\R$ Riemann-integrable, $f\ge 0$ y tal que $\int f = 0$. Muestra que $\{x\in R:f(x)\not=0\}$ es de medida 0. Problema 4 Muestra que, si $C$ es de contenido 0, entonces es Jordan-medible. Muestra que, si $C$ es Jordan-medible y de medida 0, entonces $\int_C 1 = 0$. Problema 5 Sea $latex f:...

Fecha de entrega: 13 de marzo Problema 1 Sea $K$ un polítopo convexo. Muestra que $K$ tiene un número finito de puntos extremos. Problema 2 Muestra que un polítopo compacto es la unión finita de simplejos. Si el polítopo tiene $r$ vectores linealmente independientes, muestra que es la unión finita de $r$-simplejos. Problema 3 Sea $f:R\to\R$ Riemann-integrable y $c\in\R$. Muestra que $cf$ es Riemann-integrable y $\displaystyle\int cf = c\int f$. Problema 4 Sean $f,g:R\to\R$ Riemann-integrables tales que $f\le g$. Muestra que $\displaystyle\int f \le \int g$. Problema 5 Sea $f:[a,b]\to\R$ creciente. Si $x_1,\ldots,x_k\in[a,b]$ son distintos, muestra que $\displaystyle\sum_{i=1}^k O(f,x_i) < f(b) - f(a).$

Fecha de entrega: 6 de marzo Problema 1 Sea $Latex f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ continuamente diferenciable. Muestra que $Latex f$ no es inyectiva. ( Sugerencia: Considera la función $Latex g(x,y) = (f(x,y),y).$) Generaliza este resultado a funciones continuamente diferenciables $Latex f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,$ con $Latex m<n$. Problema 2 Muestra que si $Latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisface $Latex f'(x)\neq 0$ para todo $Latex x\in\mathbb{R}$, entonces $Latex f$ es inyectiva. Sin embargo, muestra que $Latex f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dada por  $Latex \displaystyle f(x,y) = (e^x\cos{y},e^x\sin{y})$ satisface $Latex \det f'(x,y)\neq 0$ para todo $Latex (x,y)\in\mathbb{R}^2$, pero no es inyectiva. Problema 3 Sea $Latex K\subset\mathbb{R}^n$ un conjunto convexo cerrado no vacío tal que $Latex \mathbb{R}^n\setminus K\neq\emptyset$ es convexo. Muestra que $Latex K$ es un semiespacio cerrado. Problema 4 Sean $Latex f,g:K\to\mathbb{R}$ convexas y sea $Latex ...