Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 28 de noviembre Problema 1 Verifica que $Latex \displaystyle f(x,y,z,t) = \sin\big(k_1(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)+k_2\big)$ satisface la ecuación de derivadas parciales $Latex \displaystyle \square^2f=0$. Problema 2 Muestra que si $Latex g$ es una función dos veces diferenciable, $Latex \vec u = (u_1,u_2,u_3)$ es un vector unitario, y si $Latex f(x,y,z,t) = g(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)$, entonces $Latex \displaystyle \square^2f=0$. Problema 3 Sea $Latex \phi$ un campo escalar que depende solo de $Latex x, z$, y $Latex t$ y satisface la ecuación de d'Alembert: $Latex \displaystyle \square^2 \phi =0$. Muestra que $Latex \vec B=(0,-c^2\partial\phi/\partial t,0)$ y $Latex \vec E = (\partial\phi/\partial z,0,-\partial\phi/\partial z)$ satisfacen las ecuaciones de Maxwell en la ausencia de cualquier carga o corriente. Problema 4 Sea $Latex \displaystyle \Phi = \sin\Big(\frac{\sqrt{2}}{2}(x+z)-ct\Big)dzdxdt$. Verifica que $Latex \Phi$ es cerrada y satisface $Latex \displaystyle \e...

Fecha de entrega: 21 de noviembre Problema 1 Una carga puntual se localiza en el punto $latex (0,0,2)$. Encuentra el flujo del campo eléctrico $latex \mathbf E$ producido por esta carga a través del disco $latex \{(x,y,z): x^2+y^2\le 1, z=0\}.$ Problema 2 Averigua la falacia del siguiente argumento, que supuestamente demuestra que  no existen los campos magnéticos : Sea $latex \vec B$ un campo magnético. Empezamos del hecho que $latex \vec B$ es incompresible, por lo que $latex \nabla\cdot\vec B = 0$. Como un campo incompresible es el rotacional de un campo vectorial, $latex \vec B = \nabla\times\vec A.$ Entonces $latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A\cdot\hat n d\sigma = \int \vec B\cdot \hat n d\sigma=\int \nabla\cdot\vec B dV = 0,$ donde hemos usado el teorema de Gauss. Por el teorema de Stokes, $latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A \cdot\hat n d\sigma=\oint \vec A\cdot d\vec r,$ y entonces $latex \displaystyle \oint \vec A \cdot d\vec r = 0.$ Como un campo irrotacional...

Fecha de entrega: 14 de noviembre Problema 1 Usa el teorema de Stokes para evaluar las siguientes integrales. En cada caso, determina la dirección en la cual es necesario orientar $latex C$ para obtener un valor positivo. a) $Latex \displaystyle \oint_C ydx+(2x-z)dy+(z-x)dz,$ $Latex \qquad$ donde $Latex C$  es la intersección de $Latex x^2+y^2+z^2=$ y $Latex z=1$. b) $Latex \displaystyle \oint_C (y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,$ $Latex \qquad$ donde $Latex C$ es formada por la intersección de $Latex x+2y+3z=4$ con los planos $Latex x=3, y=2$ y, $latex z=1$, respectivamente. Hint: $Latex C$ es la frontera de un triángulo. Encuentra el pullback de este triángulo al triángulo fundamental en el espacio $Latex uv$. Problema 2 Verifica que las imagenes del campo vectorial $Latex \vec F(0,e^{-x^2},0)$ son paralelas, pero su rotacional no es $Latex \vec 0$. Explica por qué una hoja empujada por el flujo descrito por el campo vectorial, rota sobre sí misma. Problema 3 Encuentra un campo pot...

Fecha de entrega: 7 de noviembre Problema 1 Determina cuáles de las siguientes formas son cerradas: $Latex (2xy+y^2)dx+(2xy+x^2)dy$, $Latex y^2dx+(2xy+z^2)dy+2yzdz$, $Latex (xdx+ydy+zdz)/(x^2+y^2+z^2)$. Problema 2 Determina cuáles de las 1-formas del problema anterior son exactas. Para aquellas que lo son, encuentra un campo escalar del cual la forma es el diferencial. Si la forma no es exacta, encuentra dos trayectorias con los mismos extremos donde las integrales de línea sean diferentes. Problema 3 Usa el teorema de Green para evaluar $Latex \displaystyle \oint_C x^3ydx+xydy,$ donde $Latex C$ es el cuadrado con vertices en $Latex (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)$. Problema 4 Usa el teorema de Green para evaluar $Latex \displaystyle \oint_C ydx+x^2dy,$ donde $Latex C$ es la parabola $Latex y=x^2$ de $Latex (-1,1)$ a $Latex (1,1)$ junto con la recta de $Latex (1,1)$ a $Latex (-1,1)$. Problema 5 Si un fluido tiene vector de velocidad $Latex (3x^2-y^2,x^2+3y^2)$ en el punto $Latex (x,y)...