Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 31 de octubre Problema 1 Encuentra los extremos de $latex f$ bajo las condiciones dadas. $latex f(x,y) = x^2+y^2, \quad x^3-xy^2=1$ $latex f(x,y) = 2x+3y, \quad x^2-2xy+2y^2=1$ $latex f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2, \quad (x-y)^2=1, \quad xyz = 1$ Problema 2 Encuentra el punto en la cónica $latex x^2-xy+y^2=1$ más cercano al origen. Problema 3 Encuentra el punto en la intersección de $latex (x+1)^2+(y-3)^2+(z-12)^2=4$ y $latex x-2y+z=5$ más cercano al origen. Encuentra también el punto más lejano. Problema 4 Encuentra las dimensiones desconocidas del paralelepípedo rectángulo de volumen máximo con aristas paralelas a los ejes inscrito en la elipsoide $latex x^2 + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{9} = 1$.

Fecha de entrega: 24 de octubre Problema 1 Usa diferenciación implícita para expresar $Latex dy / dx$ como función de $Latex x$ y $Latex y$. $Latex x^2 y + x^3 y^4 =1$, $Latex x e^y + y e^x = 2e$. Problema 2 Encuentra $Latex \partial y /\partial x$ en el punto especificado, si existe. $Latex x^3 + y^3 + z^3 = 10$ en $Latex (1,2,1)$, $Latex (x^2 + y^2)/(y^2 + z^2) = 1$ en $Latex (-1,3,1)$, $Latex \log(xyz) = 3$ en $Latex (e,e^2,1)$, $Latex \sin x \cos y - \cos y\sin z = 0$ en $Latex (\pi,0,\pi/2)$. Problema 3 Sean $Latex x, y, u, v$ tales que $Latex \begin{array}{rcl} xy &=& 2e^{uv},\\x+y &=& e^{u+v}.\end{array}$ Encuentra $Latex \partial x/\partial u$ considerando $latex v$ constante en el punto $Latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Después, calcula $Latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto tomando $latex y$ constante. Problema 4 Sean $Latex x, y, r, \theta$ relacionados por $Latex \begin{array}{rcl} x&=&r\cos\theta,\\y&=&r\sin\theta.\end

Fecha de entrega: 17 de octubre Problema 1 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_S x dydz - z dzdx + z^2 dxdy$ para cada una de las siguientes superficies $latex S$, con orientación alejándose del origen. El hemisferio superior $latex S = \{(x,y,z): x = \cos\theta\cos\varphi, y = \sen\theta\cos\varphi, z = \sen\varphi,$ $latex 0 \le \theta \le 2\pi, 0\le \varphi \le \pi/2\}$. El cono hacia abajo con vértice en $latex (0,0,3)$ $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = 3 - 3r,$ $latex 0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi\}$ El paraboloide hacia arriba cno vértice en $latex (0,0,-2)$ $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = -2 + 2r^2,$ $latex 0\le r \le 1, 0\le \theta \le 2\pi\}$ Problema 2 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_S y^2 dydz + 2z dzdx - dxdy$ para cada una de las superficies $latex S$ del problema anterior. Problema 3 Muestra que, si la superficie $latex S$ está descrita por $latex S = \{(x,y,z): z = f(x,y), (x,y)\in R\}$,

Fecha de entrega: 10 de octubre Problema 1 Para los siguientes pares de una función vectorial, $Latex \vec r(t)$, y un campo escalar, $Latex f(\vec x)$, sea $Latex F(t) = f(\vec r(t))$. Encuentra $Latex F'(t)$. $Latex f(x,y) = x^y$, $Latex \;\vec r(t) = (t^2,\log t)$, $Latex f(x,y) = xy\tan z$, $Latex \;\vec r(t) = (\cos t,\sin t,t)$. Problema 2 Encuentra $Latex \dfrac{\partial f}{\partial u}$ y $Latex \dfrac{\partial f}{\partial v}$ para cada una de las siguientes funciones. $Latex f(x,y) = x^2+xy$, $Latex \;x = v e^u$, $Latex \;y = u e^v$, $Latex f(x,y) = x\log (x^2+y^2)$, $Latex \;x = u^2-v^2$, $Latex \;y = u^2+v^2$. Problema 3 Para cada uno de los siguientes campos escalares, encuentra la dirección en la cual su derivada es máxima. $Latex f(x,y) = \log(x^2+2y^2)$ en $Latex (-1,1)$, $Latex f(x,y,z) = \sin xy-\cos xz$ en $Latex (\pi,1/2,1)$. Problema 4 Encuentra la ecuación del plano tangente a cada una de las superficies siguientes en el punto indicado. $Latex x^2+

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Indica cuántas raíces reales tiene cada uno de los siguientes polinomios. $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 4$ $latex x^3 + 2x -6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$ Problema 2 Encuentra una raíz real de cada uno de los siguientes polinomios. $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$ $latex 2x^3 - x + 2$