Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 28 de marzo Problema 1 Encuentra el radio de convergencia de las siguientes series de potencias. $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty 2^k z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{k}{6^k} z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k z^{2k}}{k^2+k}$ $latex \displaystyle \sum_{k=3}^\infty (\log k)^{k/2} z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{z^{2k}}{4^kk^k}$ Problema 2 Determina para cuáles $latex z$ las siguientes series convergen. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (z-1)^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty 2^k(z-2)^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac{2^k}{k^2} (z-2-i)^k$ Problema 3 Indica qué funciones son representadas por las siguientes series de potencias. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k^2 z^k$ Problema 4 Encuentra el radio de convergencia de las series de potencias para las siguientes funciones alrededor del punto $latex z_0$ indicado. $...

Fecha de entrega: 21 de marzo Problema 1 Muestra que $latex |\Re z|\le |z|$ y $latex |\Im z| \le |z|$. Muestra que $latex |z+w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2\Re(z\bar w)$. Usa esto para probar la desigualdad del triángulo $latex |z+w|\le |z|+|w|$. Problema 2 Dibuja bocetos de las siguientes curvas, así como de sus imágenes bajo las funciones $latex w=z^2$  y la rama principal de $latex w=\sqrt z$. $latex x=1$ $latex y^2=x^2-1$, $latex x >0$ $latex |z-i|=1$ $latex y=x$ Problema 3 Dibuja un boceto de las siguientes figuras y de sus imágenes bajo $latex w=e^z$. el rectángulo $latex 0<\Re z<1, 0<\Im z<\pi/4$ el disco $latex |z|\le \pi/2$ la banda vertical $latex -1 <\Re z < 0$ Problema 4 Muestra que las siguientes funciones son armónicas, y calcula su armónica conjugada. $latex xy$ $latex \cos x\cosh y$ $latex xy + 3x^2y - y^3$ $latex \dfrac{x}{x^2+y^2}$ Problema 5 Calcula explícitamente las transformaciones de Möbius determinadas por las siguientes corre...

Fecha de entrega: 14 de marzo Problema 1 Sea $latex \gamma$ la frontera del triángulo $latex \{0 \le y \le 1-x, 0\le x\le 1\}$, en la orientación positiva. Calcula las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_\gamma \Re z dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma \Im z dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma z dz$ Problema 2 Sea $latex \gamma$ el círculo unitario en la orientación positiva. Calcula las siguientes integrales, donde $latex m\in\Z.$ $latex \displaystyle \int_\gamma |z^m| dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma \bar z^m dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma z^m |dz|$ $latex \displaystyle \int_\gamma |z^m| |dz|$ Problema 3 Muestra que, si $latex D$ es un dominio acotado con frontera suave, entonces $latex \displaystyle \int_{\partial D} \bar z dz = 2i \text{\'Area}(D)$. Problema 4 Evalúa las siguientes integrales, primero para una curva $latex \gamma_1$ del punto $latex -\pi i$ al punto $latex \pi i$ en el semiplano derecho, y luego para una curva de $latex -\...

Fecha de entrega: 7 de marzo. Problema 1 Para cada una de las funciones armónicas $latex u$ encuentra $latex du, dv$ y $latex v$, la armónica conjugada de $latex u$. $latex u(x,y) = x-y$ $latex u(x,y) = x^3-3xy^2$ $latex u(x,y) = \sinh x\cos y$ $latex u(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}$ Problema 2 Sea $latex D =\{a<|z|<b\}\setminus(-b,-a)$, un anillo ranurado a lo largo del eje real negativo. Mostrar que cualquier función armónica en $latex D$ tiene una armónica conjugada en $latex D$. Sugerencia:  Fija $latex c$ entre $latex a$ y $latex b$, y define $latex v(z)$ explícitamente como una integral de línea a lo largo de la curva que consiste de la línea recta de $latex c$ a $latex |z|$ seguida del arco circular formado de $latex |z|$ a $latex z$. O mapea el anillo ranurado  a un rectángulo por $latex w = \Log z$. Problema 3 Sea $latex f(z)$ una función continua en un dominio $latex D$. Mostrar que si $latex f(z)$ tiene la propiedad del valor medio con respecto a círculos, entonces ...