Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 31 de agosto Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 2 10, 11, 20, 24, 25, 26

Funciones medibles e integración de funciones nonegativas Definimos $latex \overline\R = [-\infty,\infty]$, y la colecciónes de borelianos en $latex \overline\R$ como $latex \mathcal B_{\overline\R} = \{ E\subset\overline\R: E\cap\R\in\mathcal B_\R\}.$ Problema 13 $latex \mathcal B_{\overline\R}$ es generada por $latex \{ (a, \infty]: a\in\R\}$; $latex \{ [a, \infty]: a\in\R\}$; $latex \{ [-\infty,a): a\in\R\}$; o $latex \{ [-\infty,a]: a\in\R\}$. Problema 14 Sea $latex f:X\to\overline\R$ y $latex Y=f^{-1}(\R)$. Entonces $latex f$ es medible si y solo si $latex f^{-1}(\{-\infty\})\in\mathcal M$, $latex f^{-1}(\{\infty\})\in\mathcal M$ y $latex f$ es medible en $latex Y$. Problema 15 Si $latex (f_n)$ es una sucesión de funciones medibles en $latex X$, entonces el conjunto de las $latex x$ donde $latex \lim f_n(x)$ existe es medible. Problema 16 Si $latex f:\R\to\R$ es monótona, entonces $latex f$ es medible. Problema 17 Sea $latex (f_n)$ una sucesión en $latex L^+$ tal que $late...

Fecha de entrega: 24 de agosto Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 1 28-29, 31, 32, 36, 38, 39, 45-46

El teorema de Carathéodory Problema 9 Sea $latex \mu^*$ una medida exterior en $latex X$ y $latex \{A_j\}$ una sucesión de $latex \mu^*$-medibles disjuntos. Entonces $latex \mu^*\big( E\cap \bigcup A_j \big) = \sum \mu^*(E\cap A_j)$ para cada $latex E\subset X.$ Problema 10 Sea $latex \mathcal A\subset \mathcal P(X)$ un álgebra, $latex \mathcal A_\sigma$ la colección de uniones contables de conjuntos en $latex \mathcal A$, y $latex \mathcal A_{\sigma\delta}$ la colección de intersecciones contables de conjuntos en $latex \mathcal A_\sigma$. Sea $latex \mu_0$ una premedida en $latex \Alg$ and $latex \mu^*$ la medida exterior inducida. Para todo $latex E\subset X$ y $latex \e>0$, existe $latex A\in\Alg_\sigma$, con $latex E\subset A$ y $latex \mu^*(A)\le \mu^*(E) + \e.$ Si $latex \mu^*(E) < \infty$, entonces $latex E$ es $latex \mu^*$-medible si, y solo si, existe $latex B\in\Alg_{\sigma\delta}$ tal que $latex E\subset B$ y $latex \mu^*(B\setminus E) = 0$. Si $latex \mu_0$ es...

Fecha de entrega: 20 de agosto Problema 1 Demuestra por inducción la identidad $latex 1 + 4 + 9 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ para todo $latex n\in\mathbb N$. Problema 2 Demuestra por inducción la identidad $latex 1 + 8 + 27 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2$ para todo $latex n\in\mathbb N$. Problema 3 Demuestra por inducción la desigualdad $latex 2^n > n$ para todo $latex n\in\N$. Problema 4 Demuestra por inducción la desigualdad $latex 2^n > n^2$ para todo número natural $latex n\ge 5$. Problema 5 Muestra que, si $latex a\equiv b \pmod m$ y $latex c\equiv d \pmod m$, entonces $latex ac \equiv bd \pmod m$. ( Sugerencia: Muestra que $latex m$ es divisor de $latex ac - bd$.) Problema 6 Resuelve la siguientes ecuaciones en clases residuales (es decir, encuentra la clase residual $latex x$ que satisface la ecuación), si es que tienen solución: $latex x + 6 \equiv 2 \pmod 4$ $latex 2x - 1 \equiv 4 \pmod 7$ $latex 3x + 2 \equiv 0 \pmod 6$ $latex 2x + 6 \...

Fecha de entrega: 17 de agosto Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 1 3, 6, 7, 9, 10, 14, 18-20, 22.

Medidas Problema 4 Si $latex \mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n$ son medidas en $latex (X, \mathcal A)$, y $latex a_1, a_2, \ldots, a_n\in[0,\infty)$, entonces $latex \sum a_j\mu_j$ es una medida en $latex (X,\mathcal A)$. Problema 5 Si $latex (X,\mathcal A, \mu)$ es un espacio de medida y $latex \{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal A$, entonces $latex \mu(\liminf E_j) \le \liminf \mu(E_j)$. Además, si $latex \mu(\bigcup_j E_j) < \infty$, $latex \mu(\limsup E_j) \ge \limsup \mu(E_j)$. Problema 6 Si $latex (X,\mathcal A, \mu)$ es un espacio de medida y $latex E\in\mathcal A$, entonces $latex \mu_E(F) = \mu(E\cap F)$ es una medida en $latex (X,\mathcal A)$. Problema 7 Toda medida $latex \sigma$-finita es semifinita. Problema 8 Si $latex \mu$ es semifinita y $latex \mu(E)=\infty$, para todo $latex c>0$ existe $latex F\subset E$ tal que $latex c < \mu(F) < \infty$.

Álgebras y $latex \sigma$-álgebras Problema 1 Sea $latex X$ un conjunto, $latex \{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal P(X)$, y $latex \displaystyle \limsup E_j = \bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{j=k}^\infty E_j.$ Entonces $latex \limsup E_j$ es el conjunto de $latex x\in X$ tal que $latex x\in E_j$ para infinitos $latex j$. Problema 2 Sea $latex X$ un conjunto, $latex \{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal P(X)$, y $latex \displaystyle \liminf E_j = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcap_{j=k}^\infty E_j.$ Entonces $latex \liminf E_j$ es el conjunto de $latex x\in X$ tal que $latex x\in E_j$ para todos excepto a lo más un número finito de $latex j$. Problema 3 Un álgebra $latex \mathcal A$ es una $latex \sigma$-álgebra si, y solo si, es cerrada bajo uniones contables crecientes: si $latex \{E_j\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal A$ y $latex E_1\subset E_2\subset\ldots$, entonces $latex \bigcup E_j \in \mathcal A$.

Fecha de entrega: 10 de agosto Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 0 30, 32-33, 35-36, 37, 39, 41 , 45.