Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 31 de agosto Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 2 10, 11, 20, 24, 25, 26

Funciones medibles e integración de funciones nonegativas Definimos $latex \overline\R = [-\infty,\infty]$, y la colecciónes de borelianos en $latex \overline\R$ como $latex \mathcal B_{\overline\R} = \{ E\subset\overline\R: E\cap\R\in\mathcal B_\R\}.$ Problema 13 $latex \mathcal B_{\overline\R}$ es generada por $latex \{ (a, \infty]: a\in\R\}$; $latex \{ [a, \infty]: a\in\R\}$; $latex \{ [-\infty,a): a\in\R\}$; o $latex \{ [-\infty,a]: a\in\R\}$. Problema 14 Sea $latex f:X\to\overline\R$ y $latex Y=f^{-1}(\R)$. Entonces $latex f$ es medible si y solo si $latex f^{-1}(\{-\infty\})\in\mathcal M$, $latex f^{-1}(\{\infty\})\in\mathcal M$ y $latex f$ es medible en $latex Y$. Problema 15 Si $latex (f_n)$ es una sucesión de funciones medibles en $latex X$, entonces el conjunto de las $latex x$ donde $latex \lim f_n(x)$ existe es medible. Problema 16 Si $latex f:\R\to\R$ es monótona, entonces $latex f$ es medible. Problema 17 Sea $latex (f_n)$ una sucesión en $latex L^+$ tal que $late...

Fecha de entrega: 24 de agosto Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 1 28-29, 31, 32, 36, 38, 39, 45-46

El teorema de Carathéodory Problema 9 Sea $latex \mu^*$ una medida exterior en $latex X$ y $latex \{A_j\}$ una sucesión de $latex \mu^*$-medibles disjuntos. Entonces $latex \mu^*\big( E\cap \bigcup A_j \big) = \sum \mu^*(E\cap A_j)$ para cada $latex E\subset X.$ Problema 10 Sea $latex \mathcal A\subset \mathcal P(X)$ un álgebra, $latex \mathcal A_\sigma$ la colección de uniones contables de conjuntos en $latex \mathcal A$, y $latex \mathcal A_{\sigma\delta}$ la colección de intersecciones contables de conjuntos en $latex \mathcal A_\sigma$. Sea $latex \mu_0$ una premedida en $latex \Alg$ and $latex \mu^*$ la medida exterior inducida. Para todo $latex E\subset X$ y $latex \e>0$, existe $latex A\in\Alg_\sigma$, con $latex E\subset A$ y $latex \mu^*(A)\le \mu^*(E) + \e.$ Si $latex \mu^*(E) < \infty$, entonces $latex E$ es $latex \mu^*$-medible si, y solo si, existe $latex B\in\Alg_{\sigma\delta}$ tal que $latex E\subset B$ y $latex \mu^*(B\setminus E) = 0$. Si $latex \mu_0$ es...