Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 29 de septiembre Problema 1 Calcula los polinomios ciclotómicos $latex \Phi_{11}(x)$ y $latex \Phi_{12}(x)$. Problema 2 Demuestra que $latex \displaystyle \sum_{d|n}\phi(d) = n.$

Fecha de entrega: 29 de septiembre   Problema 1 Encuentra las raíces racionales a los siguientes polinomios.  $Latex 5x^3-3x^2-7x-2$ $Latex 14x^4-37x^3+19x^2-37x+5$ $Latex 15x^4-3x^3-8x^2+6x-4$ Problema 2 Demuestra utilizando el criterio de Eisenstein que los siguientes polinomios son irreducibles. $Latex x^3 + 6x-1$ $Latex x^3+x^2-2x-1$ $Latex x^4-42x^2+21x+56$

Fecha de entrega: 29 de septiembre Problema 1 Problema 1 Examinando el discriminante, determina la existencia y cantidad de raíces reales a los siguientes polinomios. $Latex 2x^2-8x+8$ $Latex x^2-3x+2$ $Latex x^2-4x+5$ $Latex 9x^2+6x+1$ $Latex x^2+6x+13$ $Latex x^2-9$ $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 4$ $latex x^3 + 2x -6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$    

Due date: September 29 Problem 1 Let $latex d(x) = d(x,\Z)$ denote the distance from $latex x\in\R$ to the nearest integer. For $latex q\in\Z_+, \alpha>0$, define the sets $latex U_\alpha(q) = \{x\in\R: d(qx)< q^{-\alpha}\}$ and $latex Y_\alpha = \{x\in\R: x$ belongs to infinitely many $latex U_\alpha(q)\}$. $latex Y_\alpha$ is a $latex G_\delta$ subset of $latex \R$ $latex X = \bigcap_{\alpha>0} Y_\alpha$ is a dense $latex G_\delta$ subset of $latex \R$. For each $latex x\in\R$, $latex x\not\in X$ iff there exists a polynomial p over $latex \R$ such that $latex p(n)d(nx)>1$ for all $latex n\ge1$. Problem 2 We say that a real number x is Diophantine of exponent $latex \alpha >0$ if there exists a constant $latex c>0$ such that $latex \Big| x - \dfrac{p}{q} \Big| > \dfrac{c}{q^\alpha}$ for all rationals $latex p/q$. We denote by $latex \mathcal D(\alpha)$ the set of Diophantine numbers of exponent $latex \alpha$ and $latex \mathscr D = \bigcup_\alpha \mathca

Fecha de entrega: 29 de septiembre Problema 1 Encuentra una raíz real de cada uno de los siguientes polinomios. $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$ $latex 2x^3 - x + 2$  

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Averigua si las siguientes matrices son invertibles, y en tal caso calcula su inversa. $latex \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-6&9\\4&-6\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&-1&0\\2&3&-1\\-1&6&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&0\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&-1\\-1&-1&-3\end{pmatrix}$  

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Considera las siguientes matrices: $latex \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2&2&1\\0&1&-2\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0&1&1\\2&-1&3\\3&1&0\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\\1&1\end{pmatrix}.$ Calcula $latex A+B$ $latex 2A-B$ $latex AC$ $latex AD$ $latex BC$ $latex BD$ $latex C^2$ $latex CD$ $latex DA$ $latex DB$  

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex \begin{array}{rcl}2x-2y+z&=&2\\x-y-z&=&-1\\-3x+6y-z&=&6\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}3x+3y-z&=&1\\2x+y+z&=&0\\x-y+3z&=&1\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x-3y&=&1\\3x-y&=&2\\x-5y&=&0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}x+y+z &=& 2\\x-y-2z&=&-3\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x+4y-z&=&-1\\x+y+z&=&0\\-x-y+z&=&3\end{array}$  

Due Date: September 22 Problem 1 Let  X be a complete metric space. The countable intersection of dense $latex G_\delta$ sets in  X is a dense $latex G_\delta$ set in  X . If a set and its complement are dense subsets of  X , at most one can be $latex G_\delta$. A countable dense subset of  X cannot be $latex G_\delta$. Problem 2 Let  X be a complete metric space. If $latex O\subset X$ is open, then  O is a metric subspace of the second category. If $latex \{F_n\}$ are closed subsets of  X with $latex X = \bigcup_n F_n$, then $latex \bigcup_n F_n$ is dense in  X . Problem 3 Let $latex \{f_n\}\subset C(\R)$ be such that for each $latex x\in\R$ there exists $latex n\ge 1$ such that $latex f_n(x)=0.$ Let  O be the set of $latex x\in\R$ such that there exist $latex n\ge 1$ and $latex \e>0$ such that $latex f_n|_{(x-\e,x+\e)}=0$. Then  O is an open dense set in $latex \R$. Problem 4 Let $latex f:\R\to\R$ be an infinitely differentiable function such that for all $latex

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Para las siguientes ecuaciones, haz un bosquejo de la recta y encuentra su pendiente. $latex 2x -3y + 1 = 0$ $latex 2x=2$ $latex 2x + 4y = 1$ Problema 2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex 2x+y=1\quad 3x-y=1$ $latex -x-2y=2\quad 3x+6y=6$ $latex 2x-6y=0\quad 3x-2y=1$ $latex -5x+2y=-2\quad 8x-y=1$ $latex 2x+y=4\quad-4x-2y=-8$  

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Para cada pareja de polinomios $latex f(x), g(x)$, encuentra polinomios $latex q(x), r(x)$ tales que $latex f(x) = g(x)q(x) + r(x)$ y $latex \grad r(x) < \grad g(x)$. $latex f(x) = x^4 + 3x^2+1, g(x) = 2x^2-1$ $latex f(x) = x^5- x^4 - 3 x^3 + 2 x^2 + x-2, g(x) = x^2-x-1$ Problema 2 Encuentra un máximo común divisor $latex d(x)$ de los polinomios $latex f(x) = x^2-x-1 \qqy g(x) = x^3 - 5x + 2$, y encuentra polinomios $latex p(x), q(x)$ tales que $latex f(x) p(x) + g(x) q(x) = d(x).$ Problema 3 Factoriza $latex x^4 + 1$ en polinomios cuadráticos reales.

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 - z - 1 + i = 0$ $latex z^2 - iz - 1 - i = 0$ $latex z^2 + (1+i)z + 10 + 11i = 0$ $latex z^2 + (1-i)z - i = 0$  

Les recomiendo el post  Timeless Note-Taking Systems for Students , publicado en el blog de  Evernote , con recomendaciones para tomar notas en sus clases (no es necesario usar la aplicación, obviamente). El post incluye enlaces a recomendaciones preparadas por diversas universidades, sugerencias de escritura, y algunas ideas para identificar la información relevante a tomar nota.

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Calcula explícitamente, en coordenadas cartesianas, las raíces sextas de la unidad. Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 = -2+2i$ $latex z^3 = -i$ $latex z^4 = -1$ $latex z^3 = -8+8i$ $latex z^2 = -4i$  

Due date: September 15 Problem 1 State whether the following are true: $latex \overline{A\cup B} \subset \overline{A}\cup \overline{B}$; $latex \overline{A\cup B} \supset \overline{A}\cup \overline{B}$; $latex \overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}$; and $latex \overline{A\cap B} \supset \overline{A}\cap \overline{B}$. Problem 2 The closed ball $latex \bar B_r(x_0) = \{ x\in X: d(x,x_0)\le r\}$ is a closed set in  X . Problem 3 If $latex f:X\to Y$ is continuous, its  graph  $latex G=\{(x,f(x)): x\in X\}$ is closed in $latex X\times Y$. Problem 4 Give an example of two disjoint closed sets in a metric space at zero distance. Problem 5 If $latex U\subset \R$, then it is the disjoint countable union of open intervals.  

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Escribe los siguientes números complejos en forma polar. $latex z = 2-2i$ $latex z = -3\sqrt 3 + 3i$ $latex z = -4-4i$ $latex z = 4 + 4\sqrt 3 i$ $latex z = -2-2i$ Problema 2 Escribe los siguientes números complejos en forma cartesiana. $latex z = 4e^{i\pi/2}$ $latex z = 2e^{2i\pi/3}$ $latex z = e^{7i\pi/4}$ $latex z = 6e^{-5i\pi/3}$ $latex z = 3e^{-9i\pi/4}$  

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Dibuja en el plano complejo los números $latex z, w, z+w, z-w $ y $latex zw $ para los siguientes números complejos. $latex z=2+3i, w=1-i $ $latex z=1+i, w=1-i $ $latex z=2+2i, w=1-2i $ $latex z=-3-2i, w=-3+4i $ $latex z=5i, w=1-2i $ Problema 2 Calcula $latex |z|, |w|, |z+w|$ y $latex |zw|$ para los números del problema anterior. En cada caso, verifica que $latex |z+w| \le |z| + |w|$ y que $latex |zw| = |z| |w|$.

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ una función continua. Utiliza el teorema del valor intermedio para mostrar que existe $latex x\in[0,1]$ tal que $latex f(x)=x$. Problema 2 Utiliza el teorema del valor intermedio para mostrar que existe $latex x\in[0,\pi]$ tal que $latex \sen x + 1 = x$.

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Indica si los siguientes conjuntos son acotados por arriba o por abajo y, en tal caso, indica su supremo y/o ínfimo. $latex \Big\{\dfrac{1}{n}: n\in\N\Big\}$ $latex \Big\{\dfrac{(-1)^n}{n}:n\in\N\Big\}$ $latex \{x\in\Z: x^2 < 5 \}$ $latex \{x\in\Q: x^2-x<2\}$ $latex \{x\in\R: |x^2-5| \ge 1\}$  

Due date: September 8 Problem 1 Let $latex L^1([a,b])$ be the space of real valued continuous functions with the $latex d_1$ metric. The polynomials are dense in $latex L^1([a,b])$. Is $latex L^1([a,b])$ separable? Problem 2 Let $latex f:[a,b]\to\R$ be a continuous function such that $latex \displaystyle \int_a^b f(x) x^n dx = 0$ for all $latex n=0,1,2,\ldots$. Then $latex f(x)=0$ for all $latex x\in[a,b].$ Problem 3 Let $latex \mathbb S^1$ be the circle and $latex \mathscr A\subset C(\mathbb S^1)$ the algebra of trigonometric polynomials. Then $latex \mathscr A$ separates points. Problem 4 If $latex f,g\in C(X)$, then $latex \max(f,g), \min(f,g)\in C(X)$ . Problem 5 If $latex X,Y$ are compact metric spaces, then the tensor space $latex \displaystyle C(X)\otimes C(Y) = \{ (x,y)\mapsto \sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(y): f_k\in C(X), g_k\in C(Y), n\ge1\}$ is dense in $latex C(X\times Y)$. Note:  The product space $latex X\times Y$ has the metric $latex d_{X\times Y} \big( (x_1,y_1), (x_2,y

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Averigua si existe un campo de tres elementos distinto a $latex (\Z_3,+,\times)$. Problema 2 Muestra que, si $latex d\in\Z_+$ y $latex \sqrt d$ es racional, entonces cada factor primo de $latex d$ aparece un número par de veces en su factorización prima y, por lo tanto, $latex d$ es un cuadrado. Problema 3 Encuentra dos números irracionales tales que su suma es un número racional. Encuentra dos números irracionales tales que su multiplicación es un número racional.