Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 31 de marzo Problema 1 Verifica si las siguientes funciones $latex \phi:V\to K$ son funcionales en  V . $latex V = \R^2, \phi\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x+1)^2 + (y + 2)^2 - (x-2)^2 - (y-1)^2$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p'(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x p(x)^2 dx$ $latex V = \mathbf M, \phi(A) = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula explícitamente la base dual $latex \widehat{\mathscr B}$ de cada una de las siguientes bases para los espacios V  dados. $latex V = \R^3, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}$ $latex V = \mathscr P_2, \mathscr B = \{x, x^2-1, (x-1)^2\}$ $latex V = \mathbf M, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\...

Fecha de entrega: 24 de marzo Problema 1 Para cada una de las siguientes matrices  A , calcula la matriz  B de la transformación $latex x\mapsto Ax$ en $latex \R^3$ con respecto a la base, vista en clase, $latex \mathscr B = \Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}.$ $latex A = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}1&4&7\\-1&2&5\\-3&0&3\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula la integral indefinida $latex \displaystyle \int x^2 e^x dx$ utilizando la inversa de la matriz del operador $latex \dfrac{d}{dx}$ en el espacio $latex V = \gen\{x^2 e^x, x e^x, e^x\}$. Problema 3 Calcula la integral indefinida, para $latex n\in\N$, $latex \displaystyle \int x^n e^x dx$ como en el problema anterior. Problema 4 Considera la base $latex \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}, \begin...

Fecha de entrega: 17 de marzo Problema 1 Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \ker T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $latex \rg T$. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 5\\ 2 & 0 & -2 & 1 & 6\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -2 & -4\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 7 & 1 & -2\\2 & 1 & 4 & 1 & -2\end{pmatrix}$ Problema 2 Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \rg T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $late...

Fecha de entrega: 10 de marzo Problema 1 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1\\2 & 4 & 1 & -2 & 2 & 3\end{pmatrix}$ Encuentra una base para $latex \ker A$ Encuentra bases para $latex \rg A$, utilizando los dos métodos vistos en clase. Problema 2 Sea A  una matriz de $latex m\times n$ de rango 1. Muestra que existen vectores $latex \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix} \in\mathbb K^m \qqy \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\in\mathbb K^n$ tales que $latex A = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 &b_2 &\cdots &b_n\end{pmatrix}$. Problema 3 Demuestra que, para cada vector $latex v\in\R^{n+1}$, existe un polinomio $latex p(x)\in\mathscr P_n$ tal que $latex \displaystyle v_k = \int_k^{k+1} p(x) dx.$ Problema 4 Sea  A una matriz de $latex m\times n$ tal que s...