Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 25 de noviembre Problema 1 Considera las funciones en $latex [0,1]$ dadas por $latex f(x) = \begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\not\in\Q\end{cases}\qquad$ y $latex \quad g(x) = \begin{cases}1/q&x=p/q\in\Q, \text{mcd}(p,q)=1\\0&x\not\in\Q.\end{cases}$ Muestra que  f no es Riemann-integrable, y que  g sí lo es. Problema 2 Da un ejemplo de dos funciones $latex f:[a,b]\to[-M,M]$ y $latex g:[-M,M]\to\R$ Riemann-integrables tales que $latex g\circ f$ no lo es. Problema 3 Encuentra los siguientes límites. ( Sugerencia: utiliza sumas de Riemann de funciones apropiadas.) $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}(e^{1/n} + e^{2/n} + \ldots+e^{n/n})$ $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{k+1}}(1^k + 2^k + \ldots + n^k)$ $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\Big(\frac{1}{n^3+1^3} + \frac{1}{n^3+2^3} + \ldots + \frac{1}{n^3+n^3}\Big)$ $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}$ Problema 4 Sea $latex...

Fecha de entrega: 18 de noviembre Problema 1 Utiliza la definición de la integral de Cauchy para mostrar que $latex \displaystyle \int_a^b x dx = \frac{b^2-a^2}{2}$. Problema 2 Considera la función $latex f(x) = \sen(1/x), \quad f(0)=0$. Calcula la suma $latex \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{f((i-1)/n)}{n}$ para diversos valores de  n . ¿Qué observas? ¿Parece que converge? Determina si $latex f(x)$ es Cauchy-integrable en $latex [0,1]$. Problema 3 Sean $latex f, g$ Cauchy-integrables. Muestra que $latex f + g$ es también Cauchy-integrable. Encuentra un ejemplo de funciones Cauchy-integrables tales que su producto no es Cauchy-integrable. Problema 4 Muestra que, si  f es Riemann-integrable, entonces es Cauchy-integrable. Muestra, con un ejemplo, que la inversa es falsa.  

Fecha de entrega: 11 de noviembre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle \int_0^{\pi/(2n+1)} \frac{\sen(2n+1)y}{\sen y} dy < \pi$. Problema 2 Utiliza el problema anterior para mostrar que, si $latex 0\le a < b\le \pi/2$, entonces $latex \displaystyle \bigg| \int_a^b \frac{\sen(2n+1)y}{\sen y} dy \bigg| < \pi$. Problema 3 Calcula los coeficientes de Fourier de la función $latex \displaystyle F(x) = \begin{cases} 2x+1 & -\pi < x < 0\\(x-2)/3 & 0 < x < \pi.\end{cases}$ Evalúa algunas sumas parciales para $latex x=0$ y $latex x=\pi$. Describe tus observaciones, e indica si parece que convergen al valor esperado. Problema 4 Calcula los coeficientes de Fourier de la función periódica $latex F(x)$, con periodo $latex 2\pi$, y que es igual a $latex x^2-\pi^2$ para $latex x\in(\pi, 3\pi)$. ¿A qué converge la serie en $latex x=-\pi$? ¿En $latex x=0$? Evalúa algunas sumas parciales en estos puntos.