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Tarea 6, Análisis real 2

El teorema de Lebesgue y aproximaciones a la identidad


Problema 23


Sea $latex E\subset\R^n$ de medida cero. Entonces existe $latex f\ge 0$ integrable en $latex \R^d$ tal que, para todo $latex x\in E$,

$latex \displaystyle \liminf_{r\to 0} \frac{1}{m(B_r(x))} \int_{B_r(x)} f(y) dy = \infty.$



Problema 24


Sea $latex E\subset[0,1]$ tal que, para algún $latex \alpha>0$, $latex m(E\cap I)\ge \alpha m(I)$ para todo intervalo $latex I\subset[0,1]$. Entonces $latex m(E) = 1$.

Problema 25


Sea $latex \{K_\delta\}$ una familia de núcleos tales que

  1. $latex \int K_\delta = 0$ para todo $latex \delta>0$;

  2. Existe $latex A>0$ tal que $latex |K_\delta(x)| \le \dfrac{A}{\delta^n}$ para todo $latex \delta>0$; y

  3. Existe $latex A>0$ tal que $latex |K_\delta(x)| \le \dfrac{A\delta}{|x|^{n+1}}$ para todo $latex \delta>0$.


Entonces, si $latex f\in L^1(\R^n)$, $latex f*K_\delta(x) \to 0$ cuando $latex \delta \to 0$ para casi todo $latex x$.

Comentarios

  1. Hola Ricardo, en el problema 23 es $latex \forall x \; \in E$, supongo.

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  2. Otra duda, en el problema 25 los $latex \{K_\delta\}_{\delta>0}$ satisfacen las propiedades de una aproximación a la identidad, salvo que ahora su integral es cero? En la propiedad 3 falta que es para cada $latex x \in \mathbb{R}^n$ o cómo esta eso?

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  3. Sí, es para todo $latex x\in E$. Ya está corregido.

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  4. Efectivamente: salvo el hecho que su integral es cero en lugar de uno, los $latex K_\delta$ forman una aproximación de la identidad. Las propiedades 2 y 3, desde luego, son todo $latex x\in\mathbb R^n$.

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