Tarea 6, Análisis real 2

El teorema de Lebesgue y aproximaciones a la identidad

Problema 23

Sea $E\subset\R^n$ de medida cero. Entonces existe $f\ge 0$ integrable en $\R^d$ tal que, para todo $x\in E$,

$\displaystyle \liminf_{r\to 0} \frac{1}{m(B_r(x))} \int_{B_r(x)} f(y) dy = \infty.$

Problema 24

Sea $E\subset[0,1]$ tal que, para algún $\alpha>0$, $m(E\cap I)\ge \alpha m(I)$ para todo intervalo $I\subset[0,1]$. Entonces $m(E) = 1$.

Problema 25

Sea $\{K_\delta\}$ una familia de núcleos tales que

1. $\int K_\delta = 0$ para todo $\delta>0$;


2. Existe $A>0$ tal que $|K_\delta(x)| \le \dfrac{A}{\delta^n}$ para todo $\delta>0$; y


3. Existe $A>0$ tal que $|K_\delta(x)| \le \dfrac{A\delta}{|x|^{n+1}}$ para todo $\delta>0$.

Entonces, si $f\in L^1(\R^n)$, $f*K_\delta(x) \to 0$ cuando $\delta \to 0$ para casi todo $x$.