Tarea 5, Análisis real 2

La función maximal de Hardy y Littlewood

Sea $latex f\in L^1(\R^n)$ no idéntica a cero. Entonces existe $latex c>0$ tal que, para todo $latex |x|\ge 1$,

$latex \displaystyle Mf(x) \ge \frac{c}{|x|^n}.$

En particular, $latex Mf\not\in L^1$.

Sea $latex f\in L^1$ con soporte en la bola unitaria tal que $latex \int |f| = 1$. Entonces existe $latex c'>0$ tal que

$latex \displaystyle m\big(\{ x: Mf(x) > \alpha \} \big) \ge \frac{c'}{\alpha}$

para $latex \alpha>0$ suficientemente pequeño.

Sea $latex f$ la función en $latex \R$ dada por

$latex \displaystyle f(x) = \begin{cases}\dfrac{1}{|x|(\log 1/|x|)^2}&|x|\le1/2\\0&|x|>1/2.\end{cases}$

Entonces $latex f\in L^1$, pero $latex Mf$ no es localmente integrable.