El espacio dual de Lp, primera parte

El objetivo de esta lista de problemas y de la siguiente es estudiar el espacio dual de $latex L^p$, en particular establecer las condiciones para las cuales $latex (L^p)^*$ es isomorfo a $latex L^q$, donde $latex \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$.

En estas notas asumimos que las funciones están definidas sobre un espacio de medida $latex (X,\Omega,\mu)$.

Inversa de la desigualdad de Hölder

Para $latex 1\le p\le\infty$, sea $latex q$ el exponente dual tal que $latex \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$ ($latex q=\infty$ si $latex p=1$, y $latex q=1$ si $latex p=\infty$). Nuestra intención es demostrar el siguiente teorema.

Teorema. Para $latex f\in L^p$, $latex 1\le p < \infty$,

$latex \displaystyle ||f||_p = \sup \Big\{ \Big| \int fg \Big|: ||g||_q = 1 \Big\}.$

Demostración: Sea $latex \displaystyle A = \sup \Big\{ \Big| \int fg \Big|: ||g||_q = 1 \Big\}.$

Problema 1. Muestra que $latex A \le ||f||_p$.

Problema 2. Explica por qué podemos asumir que $latex f \not= 0$.

Define $latex g = \dfrac{|f|^{p-1} h}{||f||_p^{p-1}}$, donde $latex h$ es la función tal que $latex h(x)f(x) = |f(x)|$ para casi todo $latex x$.

Problema 3. Muestra que $latex g \in L^q$ y $latex ||g||_q = 1$.

Problema 4. Usa $latex g$ para mostrar que $latex ||f||_p \le A$.

$latex \Box$

También podemos mostrar un resultado análogo para $latex p=\infty$. Sólo se requiere que la medida $latex \mu$ sea semifinita: es decir, para cada $latex A\in\Omega$ tal que $latex \mu(A)=\infty$, existe $latex B\in\Omega$ tal que $latex B\subset A$ y $latex 0 < \mu(B) < \infty$.

Teorema. Para $latex f\in L^\infty$,

$latex \displaystyle ||f||_\infty = \sup \Big\{ \Big| \int fg \Big|: ||g||_1 = 1 \Big\}.$

Demostración: De nuevo, sea $latex \displaystyle A = \sup \Big\{ \Big| \int fg \Big|: ||g||_1 = 1 \Big\}.$ De la misma forma que antes, $latex A \le ||f||_\infty$.

Asumimos que $latex f\not=0$, y entonces sea $latex \varepsilon>0$ tal que $latex \varepsilon < ||f||_\infty$. Sea $latex Y = \{ x: |f(x)| > ||f||_\infty - \varepsilon\}$, y $latex Z\subset Y$ tal que $latex 0 < \mu(Z) < \infty$.

Sea $latex g = \dfrac{\chi_Z h}{\mu(Z)}$, donde $latex h$ es como antes y $latex \chi_Z$ es la característica de $latex Z$.

Problema 5. Muestra que $latex g\in L^1$ y $latex ||g||_1 = 1$.

Problema 6. Usa $latex g$ para mostrar que $latex ||f||_\infty \le A + \varepsilon$.

Como $latex \varepsilon$ es arbitrario, $latex ||f||_\infty \le A$.

$latex \Box$

Clasificación de funciones en $latex L^q$

Sea $latex \Sigma$ el espacio de funciones simples con soporte de medida finita., y $latex p$ y $latex q$ exponentes duales.

Teorema. Sea $latex g$ medible en $latex X$ tal que, para toda $latex f\in\Sigma$, $latex fg\in L^1$ y

$latex \displaystyle A = \sup \Big\{ \Big| \int fg \Big|: f\in\Sigma, ||f||_p = 1 \Big\} < \infty.$

Si el conjunto $latex S = \{ x: g(x)\not=0\}$ es $latex \sigma$-finito, entonces $latex g\in L^q$ y $latex ||g||_q = A$.

Demostración: Empezamos por mostrar el siguiente lema.

Problema 7. Si $latex f$ es acotada, de soporte de medida finita y $latex ||f||_p = 1$, muestra que $latex |\int fg| < A$. (Sugerencia: Utiliza el teorema de convergencia dominada.)

Ahora procedemos a mostrar que $latex g\in L^q$ y $latex ||g||_q \le A$.

Asumimos primero que $latex q<\infty$. Sean $latex E_1 \subset E_2 \subset \ldots$ de medida finita tales que $latex S = \cup_n E_n$, y $latex \phi_n$ simples tales que $latex \phi_n\to g$ p/p y $latex |\phi_n|\le g$.

Problema 8. Sean $latex g_n= \phi_n \chi_{E_n}$. Muestra que $latex g_n\in \Sigma$, $latex g_n\to g$ p/p y $latex |g_n|\le |g|$. Además, verifica que $latex g_n\in L^q$ y

$latex ||g||_q \le \liminf ||g_n||_q$.

Problema 9. Define $latex f_n = \dfrac{|g_n|^{q-1} h}{||g_n||_q^{q-1}}$, donde $latex h$ es tal que $latex h(x)g(x) = |g(x)|$ para casi todo $latex x$. Muestra que $latex f_n\in L^p$ y $latex ||f_n||_p = 1$.

Problema 10. Justifica las siguientes desigualdades:

$latex \displaystyle ||g||_q \le \liminf \int |f_n g| \le A.$

Mostraremos el caso $latex q=\infty$ por contradicción. Asumimos que $latex ||g||_\infty > A$, y entonces existe $latex \varepsilon > 0$ tal que, si $latex Y = \{ x: |g(x)| \ge A + \varepsilon \}$, entonces $latex \mu(Y) > 0$.

Problema 11. Explica por qué podemos escoger $latex Z\subset Y$ tal que $latex 0 < \mu(Z) < \infty$.

Problema 12. Sea $latex f = \dfrac{\chi_Z h}{\mu(Z)}$, donde $latex h$ es como antes. Muestra que $latex f\in L^1$ y $latex ||f||_1 = 1$.

Problema 13. Muestra que $latex \displaystyle \int fg \ge A + \varepsilon$. Explica que esto es una contradicción con lo mostrado anteriormente, y concluye entonces que $latex ||g||_\infty \le A$.

Problema 14. Muestra la desigualdad inversa $latex A \le ||g||_q$ para $latex 1 \le q \le \infty$.

$latex \Box$